economicus.ru
 Economicus.Ru » Галерея экономистов » Джоан Вайолет Робинсон

Джоан Вайолет Робинсон
(1903-1983)
Joan Violet Robinson
 
Глава 2
Геометрические методы анализа9
1
Первое, что необходимо для анализа монополии, - это кривые предельных и средних величин. Понятие средней я предельной величины может использоваться при рассмотрении издержек производства, полезности, дохода, производительности факторов и т. д.10 В ходе обсуждения мы ограничимся для иллюстрации двумя величинами - издержками производства и объемом выпуска. Однако-аналогичные рассуждения могут быть столь же справедливы для любых двух величин, одна из которых определяется значением другой. Предельная величина издержек производства представляет собой приращение совокупных издержек в результате увеличения выпуска, иными словами, предельные издержки производства п единиц продукции равняются совокупным издержкам производства п единиц продукции за вычетом совокупных издержек производства (n-i) единицы. Средние издержки представляют собой совокупные издержки производства п единиц продукции, деленные на п. Таким образом, если известны средние издержки двух последовательных значений выпуска продукции, то можно вычислить предельные издержки11
Выпуск продукции (условных единиц)Средние издержкиСовокупные издержкиПредельные издержки
1020200-
112123131
122226433
132329935
или
Выпуск продукции (условных единиц)Средние издержкиСовокупные издержкиПредельные издержки
1020200
11192099
12182167
13172215
В первом примере рассматривается рост издержек, а во втором - их снижение. Если удельные издержки постоянны, то предельные и средние издержки равны.
Итак,
Выпуск продукции (условных единиц)Средние издержкиСовокупные издержкиПредельные издержки
1020200-
112022020
122024020
В случае, когда предельные издержки превосходят средние, последние должны возрастать. Действительно, если величина предельных издержек, добавляемая, скажем, к двенадцатой единице продукции, превосходит средние издержки производства одиннадцати единиц, то средние издержки производства двенадцати единиц будут выше средних издержек производства одиннадцати единиц. Точно так же, если предельные издержки меньше средних, то последние должны уменьшаться, ибо коль скоро дополнительные издержки производства двенадцатой единицы меньше средних издержек производства одиннадцати единиц, то средние издержки производства двенадцати единиц будут меньше, чем издержки производства одиннадцати единиц продукции. Чтобы средние издержки не изменялись, предельные издержки производства двенадцатой единицы должны быть равны средним издержкам производства одиннадцати единиц. Таким образом, пока предельные издержки превосходят средние, последние увеличиваются по мере роста выпуска продукции, а до тех пор, пока предельные издержки меньше средних, последние уменьшаются. Если же предельные издержки равны средним, то последние остаются неизменными. Однако возможно, что падение средних издержек сопровождается ростом предельных издержек и vice versa. Если же средние издержки снижаются по мере увеличения выпуска продукции все медленнее, начиная с некоторого момента предельные издержки могут начать возрастать. Приведем пример.
Выпуск продукции (условных единиц)Средние издержкиСовокупные издержкиПредельные издержки
822176-
92118913
102020011
1118(1/2)22213
1218(1/4)237(1/4)15(1/4)
1318(1/8)253(3/4)16(1/2)
2
Подобного рода взаимосвязи можно изобразить схематически с помощью кривых, описывающих изменение предельных и средних величин. Как принято, значения выпуска продукции откладываются по оси х, а удельные издержки (средние и предельные) - по оси у. Мы убедились, что до тех пор, пока кривая предельных издержек лежит ниже кривой средних издержек, последняя должна понижаться; как только кривая предельных издержек оказывается выше кривой средних издержек, последняя начнет повышаться. Если кривая средних издержек сначала понижается, а затем повышается, то кривая предельных издержек будет пересекать кривую средних издержек в низшей точке последней. Происходит это потому, что кривая средних издержек может понижаться только тогда, когда кривая. предельных издержек расположена ниже ее, а повышаться - только тогда, когда кривая предельных издержек лежит выше. Точно так же, если кривая средних издержек сначала повышается, а затем понижается, то кривая предельных издержек будет пересекать кривую средних издержек в наивысшей точке последней.
Обе кривые должны исходить из одной и той же точки на оси у. поскольку при бесконечно малом значении выпуска продукции средние и предельные издержки совпадают.
Как мы уже видели, предельные издержки можно исчислить, если известны средние издержки двух последовательных значений выпуска, иными словами, если известен наклон кривой, характеризующей средние издержки. Однако, чтобы на основании данных о предельных издержках рассчитать средние издержки, необходимо знать характер кривой предельных издержек вплоть до того значения выпуска, о котором идет речь. Совокупные издержки производства п единиц продукции можно определить, если исчислить издержки производства одной единицы продукции плюс дополнительные издержки производства второй единицы плюс дополнительные издержки производства третьей и последующих единиц, включая n-ю единицу продукции. Следовательно, совокупные издержки производства того или иного объема продукции выражаются площадью фигуры, ограниченной сверху кривой предельных издержек для всех значений выпуска продукции вплоть до того значения, о котором идет речь. Разделив величину площади на n, мы может определить средние издержки.
3
Теперь необходимо исследовать взаимосвязь кривых средних и предельных издержекс геометрической точки зрения. Главное здесь состоит в том, что для любого значения выпуска (OQ - на рис. 3) площадь фигуры AEQO, ограниченной сверху кривой предельных издержек, равна площади прямоугольника BDQO, вершина которого лежит на .кривой средних издержек.
Сказанное позволяет вывести следующее заключение. Если обе кривые суть прямые линии, то перпендикуляр, опущенный из произвольной точки, расположенной на кривой средних издержек, на ось y, делится пополам пересекающей его кривой предельных издержек.
Построим DB и DQ - перпендикуляры к оси у и к оси а; соответственно, опущенные из точки D, лежащей на кривой средних издержек.
Пусть кривая предельных издержек пересечет DB в точке С, a DQ - в точке Е.
Пусть, далее, обе кривые (средних и предельных издержек) пересекают ось у в точке А.
Требуется доказать, что BC=CD.
Площадь фигуры BDQO равна площади фигуры AEQO, так как обе они выражают величину совокупных издержек производства продукции OQ
Следовательно, площадь треугольника ABC равна площади треугольника CDE. Но Ð5=ÐD, и оба эти угла прямые, а ÐАСВ = ÐDCE. Таким образом, треугольник ABC равен треугольнику CDE во всех отношениях, откуда следует, что BC=CD*
Итак, отрезок ВС вполовину меньше BD. Приведенное доказательство позволяет также утверждать, что AB-DE. Иными словами, когда кривые средних и предельных издержек изображаются прямыми линиями, кривая предельных издержек понижается (повышается) в два раза быстрее, чем кривая средних издержек.
Нет оснований предполагать, будто кривые, которые нам придется исследовать, будут представлять собой прямые линии, однако в элементарном случае анализ линейной кривой помогает выявить те фундаментальные взаимозависимости, на которых основана вся геометрия кривых, характеризующих динамику предельных и средних значений. Уже на данном этапе исследования можно сделать некоторые полезные выводы. Прежде всего применительно к семейству линейных кривых из приведенного выше доказательства вытекает, что если две или более кривых средних издержек пересекаются в одной точке, то соответствующие им кривые предельных издержек также пересекаются в одной точке, причем абсцисса последней в два раза меньше, чем абсцисса точки пересечения кривых средних издержек, а ординаты одинаковы.
При исследовании монополии нередко приходится рассматривать характеристики двух и более пар кривых, характеризующих предельные и средние издержки, и описанная выше зависимость между парами линейных кривых окажется впоследствии полезной нам.
На рис. 5 все кривые предельных издержек пересекаются в точке С, a BC=CD.
4
Продолжая исследование, подчеркнем, что изучение основных взаимозависимостей, о которых шла речь выше, представляет нам очень простой схематический метод, позволяющий перейти от рассмотрения кривой средних значений к рассмотрению кривой предельных значений. Когда обе кривые изображаются прямыми линиями, этот метод ясен. Зная, что перпендикуляр, опущенный из произвольной точки на кривой средних значений, делится кривой предельных значений на две равные части, мы, имея кривую средних значений, можем немедленно построить кривую предельных значений. Когда же кривая средних значений нелинейна, задача значительно усложняется. Метод построения кривой предельных значений предполагает, что для некоторой точки на кривой средних значений соответствующие точки на кривой предельных значений щ на касательной в этой точке кривой предельных значений! будут одними и теми же. Это очевидно, поскольку издержки в некоторой данной точке изменяются одинаково быстро и для кривой, и для касательной; получается, что,, когда мы вычисляем, насколько увеличились совокупные издержки в результате малого увеличения выпуска продукции в данной точке не имеет значения, рассчитываем мы это увеличение для кривой или для касательной.
Таким образом, предельная оценка может быть получена на основании средней оценки следующим путем:
Пусть AD - касательная к кривой средних значений в точке D. Опустим из точки D перпендикуляры DB и DQ на ось у и ось х.
Предельные издержки для выпуска OQ в точке D одни и те же как для кривой, касательной к которой является AD, так и для самой касательной.
Пусть АЕ делит BD в точке С пополам и пересекает DQ в точке Е.
Тогда, считая касательную AD кривой средних значений, получаем, что АЕ является по отношению к ней кривой предельных значений. Следовательно, кривая предельных издержек проходит через точку Е.
Приведенный способ построения кривой предельных значений, предполагающий использование касательной, пригодится нам и в последующих рассуждениях. АЕ можно рассматривать как корреспондирующую (correspodent) с касательной в точке D. АВ равно DE, а также равно QE и представляет собой величину предельных издержек в точке, соответствующей выпуску OQ.
Теперь мы знаем, как построить кривую предельных значений, корреспондирующую с кривой средних значений, независимо от вида последней. Чтобы изобразить кривую предельных значений на графике, нет необходимости строить корреспондирующую с касательной прямую АЕ, поскольку мы знаем, что отрезок АВ (см. рис. 6) равен отрезку DE. Следовательно, проводя касательную в некоторой точке, расположенную на кривой средних значений, мы одновременно устанавливаем местоположение соответствующей точки на кривой предельных значений. Чтобы найти на кривой предельных значений точку, соответствующую данной точке на кривой средних значений, проведем касательную в точке на кривой средних значений, а затем опустим из нее перпендикуляр на ось у. Кривая предельных значений будет располагаться ниже кривой средних значений на расстоянии, равном длине отрезка АВ,образованного пересечением оси у с касательной и с перпендикуляром.
Действуя подобным образом и не принимая во внимание форму кривой средних значений, мы, последовательно перебирая ее точки, можем наметить все точки кривой предельных значений.
Сказанное выше обусловлено следующим: предельная оценка, соответствующая некоторой точке на кривой средних значений, является общей и для кривой предельных значений, и для ее касательной в соответствующей данной величине средних издержек точке. Поэтому, если различные кривые средних значений имеют в некоторой точке общую касательную, соответствующие предельные оценки для всех этих кривых должны быть равны между собой. Иначе говоря, если для некоторого выпуска кривые средних значений имеют общую касательную, кривые предельных значений должны в соответствующей этому выпуску точке пересекаться.
На рис. 7 кривые средних значений имеют общую касательную AD в точке D.Предельная оценка QE (которая равна QD минус АВ) - общая для всех кривых и для касательной, а кривые предельных значений пересекаются в точке Е.
Кроме того, можно убедиться в том, что если две кривые средних значений не касаются одна другой, а пересекаются в произвольной точке D,то кривая предельных значений, соответствующая менее эластичной из двух кривых средних значений, должна пересекать отрезок DQ ниже точки его пересечения с кривой предельных значений, соответствующей более эластичной кривой средних значений. Сами же кривые предельных значений должны пересекаться между собой слева от отрезка DQ.
5
Характер взаимосвязи между некоторой кривой средних значений п соответствующей кривой предельных значений зависит от эластичности12 первой из этих кривых. Когда кривая средних издержек повышается, предельные оценки должны быть положительны независимо от эластичности этой кривой, а когда кривая средних издержек понижается, но ее эластичность больше единицы (так что увеличение выпуска влечет за собой рост совокупных издержек), предельные оценки также должны быть положительны. Когда же эластичность кривой средних значений равна единице (так что при увеличении выпуска продукции совокупные издержки остаются неизменными), предельные издержки равны нулю, а если эластичность кривой средних издержек меньше единицы, соответствующие оценки для кривой предельных издержек будут отрицательными13.
Случай, когда кривые средних и предельных значени изображаются прямыми линиями, иллюстрирует рис. 8.
Эластичность любой кривой средних значений в точке ее пересечения с осью у равна бесконечности; в этой точке кривая средних значений совпадает с кривой предельных значений. Эластичность кривой средних значений в точке пересечения с остью х равна нулю. Единице эластичность кривой средних значений, изображаемой прямой линией, равняется в точке, делящей ее пополам. До прохождения кривой этой точки она эластична, а предельные оценки положительны, после прохождения - неэластична, а предельные оценки отрицательны.
В общем случае легко убедиться, насколько тесно расстояние по вертикали между кривыми средних и предельных значений связано с эластичностью первой кривой. Чем больше в той или иной точке эластичность кривой средних значений, тем ближе находится к ней кривая предельных значений.
Так, из рис. 6, приведенного выше, видно, что чем больше эластичность кривой в данной точке D, тем меньше будет наклон касательной AD,тем короче будет от резок АВ и тем ближе одна к другой будут располагаться точки Е и D.Если кривая средних значений характеризуется абсолютной эластичностью, она окажется параллельной оси х, кривая предельных значений совпадет с ней, а издержки производства будут постоянными. Дополнительные издержки производства добавочной единицы-продукции в каждой точке кривой будут тогда равны в средним издержкам производства продукции в этой и любой другой точке.
Определение зависимости между средней оценкой, предельной оценкой и эластичностью кривой средних издержек может, разумеется, быть более строгим.
Пусть РМ -оценка средних издержек для некоторого выпуска продукции ОМ,а СМ - соответствующая оценка предельных издержек.
Проведем касательную в точке Р кривой средних издержек, чтобы она пересекла ось у в точке А,а ось х -в точке Е.Тогда эластичность14 кривой средних издержек в точке Р равна PE/AP.
Треугольники APF и РЕМ подобны.
Следовательно, PE/AP = PM/AF
При этом AF=PC.
Следовательно, PE/AP = PM/AF
При этом AF=PC.
Следовательно, эластичность кривой средних издержек в точке P= PM / PC = средние издержки / (средние издержки - предельные издержки).
Если эластичность обозначить как e, средние издержки - как А,предельные - как М,то получим:
e = А / ( A - M );       A = M ( e / ( e - 1))        и       M = A ( ( e - 1 ) / e).
Используя полученную формулу (см. рис. 9), можно вычислить соотношение предельной и средней оценок при условии, что известна эластичность кривой средних значений. Так, например, если кривая средних значений представляет собой гиперболу с асимптотами на осях х и у и эластичность ее равна единице для любых значений выпуска, то предельная оценка равна нулю для всех значений выпуска, а сама кривая предельных значений совпадает с осями х и у.В случае, когда эластичность кривой средних значении равна бесконечности, ( e - 1) / e принимает значение, равное единице, а средние и предельные оценки одинаковы.
Если e = 2, то М = 1/2 А.
Если e = 1/2, то М = -А,и т. д.
Эластичность повышающейся кривой считается отрицательной15. Для такой кривой предельная оценка превосходит среднюю оценку.
Так, если e = -1/2, то М = 3 А ;
если e = -1, то М = 2А ;
если e = -2, то М = (3/2)А и т. д.
6
Теперь мы должны рассмотреть взаимосвязь кривых предельных и средних значений для некоторых специальных случаев. Такое рассмотрение представляется полезным, поскольку оно помогает уяснить общий смысл подобных взаимосвязей, а кроме того, пригодится нам в процессе последующего анализа. Например, если средние издержки остаются до некоторого значения выпуска продукции на графике постоянными, а затем начинают постепенно увеличиваться, то кривая предельных издержек также начнет постепенно отклоняться от кривой средних издержек (см. рис. 10). В случае, когда кривая средних значений начинает повышаться резко, т. е. наблюдается ее излом (kink)16, кривая предельных значений будет содержать разрыв (см. рис. 11).
Точно такой же излом может характеризовать понижающуюся кривую средних значений. Например, если наклон кривой средних значений, понижавшейся до какой-то точки равномерно, неожиданно резко изменяется (подобно тому как это изображено на рис. 12), то кривая предельных значений будет повышаться "скачкообразно", а затем примет свой обычный вид.
Если наклон кривой17 средних значений резко возрастает (см. рис. 13), то кривая предельных значений будет "скачкообразно" убывать.
Нарушение непрерывности кривой средних значений может рассматриваться как крайний случай ее движения, когда ее наклон резко изменяется при небольших изменениях выпуска продукции. В этом случае соответствующая кривая предельных значений без всяких разрывов резко возрастает или убывает.
7
Между кривыми средних и предельных значений может существовать иного рода взаимосвязь, который мы пока не касались. Предельные издержки могут быть постоянными, в то время как средние убывают. Такое встречается, если издержки распадаются на два элемента: затраты, непосредственно зависящие от объема производства, и фиксированные расходы, совершенно не связанные с количеством выпускаемой продукции. Сказанное можно наглядно проиллюстрировать на известном примере с пресс-формой и медалями. Предположим, что пресс-форма стоит 100 ф. ст., а процесс изготовления с ее помощью медали - 1 ф. ст. Тогда предельные и средние издержки можно изобразить следующим образом:
Число медалейСовокупные издержки
(ф.ст.)
Средние издержки
(ф.ст.)
Предельные издержки
1101101-
2102511
310334(1/3)1
4104261
.......
.......
10020021
В приведенном примере предельные издержки производства неизменны, а средние убывают по мере того, как расширяется выпуск. Кривая средних издержек представляет собой гиперболу с перпендикулярными асимптотами. Площадь фигуры, образованной в положительном ортанте осями координат и гиперболой, равняется величине постоянных издержек (здесь это 100 ф. ст.). Кривая предельных издержек представляет собой прямую линию, параллельную оси х, и является асимптотой по отношению к кривой средних издержек.18
Подобные кривые можно использовать при анализе краткосрочных издержек, когда накладные расходы постоянны, а основные меняются. Если при соответствующих значениях выпуска продукции основные расходы в среднем постоянны, то взаимосвязь предельных и средних издержек будет такой, как описано выше в приведенной диаграмме.
8
Теперь необходимо вернуться к кривым более простого вида. В разделе 3 мы выяснили, что, если кривая средних значений представлена прямой линией, перпендикуляр, опущенный из некоторой ее точки на ось г/, делится кривой предельных значений пополам. Аналогичную зависимость можно выявить и для случая, когда кривые предельных и средних значений нелинейны.
Если понижающаяся кривая средних значений вогнута19, перпендикуляр, опущенный из некоторой ее точки на ось y, пересекается кривой предельных значений слева от середины.
Проведем касательную к кривой средних значений в точке Р.Тогда прямая, корреспондирующая20 с касательной, пересечет кривую предельных значений в точке С,абсцисса которой равна абсциссе точки Р,а ордината меньше.
Проведем, далее, отрезок ВС,параллельный оси х и пересекающий ось у в точке 5, кривую предельных значений - в точке С,касательную - в точке N,а кривую средних значений - в точке D.Тогда BC=CN21
Поскольку кривая средних значений вогнута, абсцисса точки D должна быть больше абсциссы точки N.
Следовательно, CD>CN,
но CN=BC.
Следовательно, ВС<( 1/2)BD.
Если кривая средних значений повышается, касательная будет лежать справа от нее, поэтому BC>(1/2)BD . Если кривая средних значений понижается, но она выпукла, то ВС >(1/2)BD, а если она повышается, но выпукла, BC<(1/2)BD. Соотношение BC и BD зависит от наклона и кривизны кривой средних значений22
9
Последующее изложение в основном будет посвящено пересечению различных пар кривых предельных значений н пар кривых средних значений. Приведенные выше доказательства помогают выявить взаимосвязь подобным образом пересекающихся кривых. Когда объектом исследования была линейная зависимость, мы обнаружили, что если две кривые средних значений пересекаются в одной точке, то точка пересечения двух соответствующих кривых предельных значений находится посередине между осью у и точкой пересечения кривых средних значений,, причем обе точки пересечения одинаково удалены от оси х.223 Когда же кривые изображают нелинейную зависимость, это в общем неверно, как и будет показано ниже. В каждом конкретном случае отношение отрезков ВС и BD будет определяться поправкой на вогнутость кривых.
Пусть две понижающиеся кривые средних значений А1 и А2 пересекаются в точке D.Проведем BD , параллельную оси х.Пусть соответствующие кривые предельных значений М1и М2пересекают BD в точках С1и С2, а между собой пересекаются в точке R.
Тогда, если кривые средних значений вогнуты, ВС1<(1/2)BD и BC2<(1/2)BD,если же они выпуклы, ВС1 >(1/2)BD и ВС2 > (1/2) BD.
Отсюда очевидно, что, когда кривые средних значений: вогнуты, точка, в которой пересекаются кривые М1 и М2, может лежать или выше BD (на расстоянии по горизонтали до оси у меньшем (1/2)BD), или ниже BD (на расстоянии меньшем, равном или же превосходящем (1/2)BD). Когда же кривые средних значений выпуклы, точка R может лежать ниже BD (на расстоянии от оси у большем (1/2)BD или выше BD (на расстоянии от оси у меньшем, равном или большем (1/2)BD). Точно так же можно показать24, что если выпуклая кривая средних значений понижается, а вогнутая кривая средних значений повышается, то точка пересечения соответствующих кривых предельных значений должна находиться от оси у на расстоянии, которое больше половины расстояния от нее до точки пересечения кривых средних значений; однако расстояние до оси х может быть как больше, так и меньше соответствующего расстояния от точки пересечения кривых средних издержек. Таким образом, судить о том,,, какова взаимозависимость между парами одноименных: кривых всевозможных видов, можно на основании предпосылок, принятых в разделе 8.
10
Теперь следует рассмотреть вопросы, связанные со сдвигами кривых. В основном мы сосредоточим внимание на том, как изменяется положение кривых средних значений. Эти сдвиги могут быть самыми разными. Кривая средних значений при данном выпуске ожетпереместиться вверх, не меняя наклона. Тогда при данном значении выпуска касательные, проведенные в соответствующие этому выпуску точки кривой средних значений до сдвига и после сдвига, параллельны. Кривая средних значений может, кроме того, сохранять определенный наклон при данной цене. Касательные в точках кривой до сдвига и после сдвига, соответствующие эой цене, также будут параллельны. Кривая может смещаться и таким образом, что ее эластичность по данному выпуску или по данной цене останется прежней, тогда как наклон кривой будет меняться25 Если показатели эластичности кривых по некоторому значению выпуска одинаковы, можно показать, что соответствующие ему касательные будут пересекаться на оси х.
Аналогично, если показатели эластичности кривых по .данной цене совпадают, соответствующие касательные будут пересекаться на оси y26. Кривыми средних значений, обладающими подобными свойствами, мы будем пользоваться в дальнейшем, поэтому предпочтительно их как-то именовать. Пару кривых средних значений, характеризующихся одинаковой эластичностью по данной цене, назовем из о эластичными (iso-elastic)по данной цене.
Разумеется, могут наблюдаться и какие-нибудь инысдвиги кривых средних значений, при которых меняются их наклон и эластичность при данных выпуске или ценах, однако мы, что называется, ограничим область возможных изменений рассмотренными выше случаями.
11
Польза от графической интерпретации взаимосвязей, представленной в данной главе, станет очевидной при последующем изложении. Полученные выводы пригодятся нам для рассмотрения различных проблем, на них мы будем неоднократно ссылаться и в ходе последующих рассуждений. В то же время исследование потребует рассмотрения некоторых других взаимосвязей, которое будет строиться на основе утверждений, содержащихся в данной главе.
9 Читателю, знакомому с элементами анализа предельных величин, рекомендуется обращаться к данной главе лишь для справок и уточнений. Остальным же читателям следует сначала ознакомиться с двумя первыми разделами главы и лишь затем вернуться к изучению прочих разделов, в которых описываются сравнительно сложные взаимосвязи.
10 Используемый в настоящей главе формальный аппарат частично содержится в работе проф. Пигу (см. Приложения к книге "Экономическая теория благосостояния". Алгебраическая трактовка взаимосвязи кривых предельных и средних величин взята из кн.: R. Н а г г о d. The Law of Decreasing Costs.-Economic Journal, December 1931. Другие авторы, у которых я непосредственно ничего не заимствую, применяли частично подобные формальные методы исследования в разное время (Н. V. Stackelberg. Grundlagen einer Kostentheorie. - Zeitschrift fur Nationalokonomie, May 1932; Amoroso. La curva statica di offerta. - Giornale degli Economisti, 1930; Schneider. Reine Theorie monopolistischer Wirtschaftsformen u Das Verteilungs und Kostenproblem in einer vertrusteten Industrie. - Schmollers Jahrbuch, vol. 19; T. 0. Y n t e m a. The Influence of Dumping on Monopoly Price. - Journal of Political Economy, December 1928).
11 В данном числовом примере столь значительные количественные изменения (1/10, 1/11, 1/12, и т.д.) выбраны для наглядности, что, однако, может привести к неточностям в вычислении. Строго говоря, предельные издержки равны всего лишь приросту совокупных издержек (обусловленному приращением продукции), делённому на приращение выпуска; при условии, что последнее представляет собой бесконечно малую величину, предельные издержки = d (совокупные издержки) / d (объем выпуска).
12 см. в главе 1 раздел 2
13 Все приведенные нами примеры связаны с кривыми издержек, но если кривая средних издержек характеризует издержки некоторой хозяйственной единицы, связанные с выпуском ею продукции, то эта кривая не^ может характеризоваться эластичностью, меньшей единицы, поскольку невозможно, чтобы больший объем производства требовал меньших издержек, чем меньший выпуск продукции. Однако, исследуя взаимозависимость кривых предельных и средних значений, мы лишь из соображений удобства рассмотрения ограничиваемся в качестве примеров кривыми издержек. Случай, когда кривая средних значений неэластична и предельные значения отрицательны, играет важную роль при исследовании предельного и среднего дохода (см. с. 95-96). Кривая средних издержек, эластичность которой равна единице, теоретически вполне возможна. Если бы производство минимально возможного количества дополнительной продукции - единицы продукции - при бесконечно большом выпуске не требовало роста издержек, кривая средних издержек имела бы вид гиперболы, асимптотами которой являются оси у и х, а соответствующая кривая предельных совпала бы с осями у и х.
14 См.: А. Маршалл. Принципы политической экономии, т.I, с. 167-168.
15 Такое утверждение кажется нелогичным, но, однако, оно представляется приемлемым. В конце концов безразлично, какова эластичность повышающейся кривой - положительная или отрицательная. Главное в том, что она рассматривается как противоположная эластичности понижающейся кривой.
16 Излом означает "скачкообразное" изменение направления кривой. - Прим. ред.
17 Под наклоном кривой в некоторой точке здесь и далее понимается наклон касательной, проведенной в данной точке. - Прим. ред.
18 При нулевом значении выпуска кривая предельных издержек должна совпасть с осью у, а при бесконечно большом значении выпуска она совпадает с кривой средних издержек.
19 см. в главе 1 раздел 3
20 см. в главе 2 раздел 4
21 см. в главе 2 раздел 3
22 Если кривизна данной кривой невелика, то приблизительную oоценку такого соотношения можно получить следующим образом:

Следовательно

можно считать величиной поправки на вогнутость (adjusted concavity) кривой средних значений. Я признательна г-ну Р. Ф. Кану за это доказательство.

Пусть прямая, корреспондирующая с кривой средних значений в точке D, пересекает BD в точке L, так что BL=LD. Если y=f(x) - уравнение кривой средних значений, то наклон корреспондирующей прямой равен 2f(x)(см. глава 2 раздел 3). Уравнение для кривой предельных значений будет иметь вид: y=f(x)+f'(x), а наклон этой кривой составит 2f'(x)+xf"(x).
Если f"(x) достаточно мало, то кривую предельных значений можно приблизительно считать прямой линией, проходящей через точки C и E. Следовательно,

Но
23 см. глава 2 раздел 3
24 Читателю, не знакомому с используемыми здесь методами-анализа, рекомендуется самостоятельно построить графики, иллюстрирующие приводимые утверждения
25 Для читателя, не знакомого с зависимостью между наклоном oкривой и ее эластичностью, может оказаться полезным следующий пример. Рассмотрим две понижающиеся кривые, изображающие линейную зависимость. Они параллельны и имеют одинаковый наклон. Линия, проведенная через начало координат, пересечет эти прямые в точках, где их эластичность одинакова. Линия, перпендикулярная оси х, пересечет верхнюю прямую в точке, где ее эластичность будет больше, чем эластичность нижней кривой. Напротив, линия, перпендикулярная оси у, пересечет нижнюю прямую в точке, где ее эластичность больше, чем эластичность верхней прямой.
26 Доказательство этого утверждения приведено ниже (см. глава 4 раздел 3)
Новости портала
Рекомендуем посетить
Allbest.ru
Награды
Лауреат конкурса

Номинант конкурса
Как найти и купить книги
Возможность изучить дистанционно 9 языков
 Copyright © 2002-2005 Институт "Экономическая школа".
Rambler's Top100