С точки зрения современной теории первые попытки точно сформулировать проблему общего равновесия относятся к периоду, предшествовавшему второй мировой войне. В данной главе эту задачу можно сформулировать достаточно просто, она предполагает: 1) построение модели хозяйственной системы, основанной на частной собственности, причем в рамках такой системы определены формы взаимозависимости производителей и потребителей; 2) рассмотрение тех мотивов, которые проявляются в независимых действиях хозяйственных субъектов; 3) определение той роли, которую играет в согласовании потенциально конфликтных независимых действий, отдельных участников система цен. Кроме того, 4) требуется оценить степень устойчивости, которую обнаруживают аналитические конструкции, позволяющие "решить" сформулированные выше три задачи.
В литературе 30-х годов, посвященной проблемам общего равновесия, можно выделить два основных направления. Основоположником первого из них можно считать Вальраса, эта линия исследований четко прослеживается вплоть до работ Касселя. Своего наивысшего развития направление достигло в трудах А. Вальда (1936 г.) и Джона фон Неймана (1938 г.).2 Работа Вальда, несмотря на некоторые забавные исходные предположения (например, запись функций спроса в следующем виде: Р = f (у) и условие, согласно которому только при ценах стремящихся к бесконечности (infinite prices), спрос сокращается до нуля), содержит первое - с точки зрения современных требований к строгости математических рассуждений - доказательство существования конкурентного равновесия (competitive equilibrium).3 Вальд показал, что существует некий вектор цен, удовлетворяющий следующему условию: если все участники решают свои оптимизационные задачи при заданных этим вектором ценах, то выбранные ими действия, сказываясь на рыночной ситуации (соотношение между спросом и предложением), в результате повлекут за собой установление именно этих цен. Доказательство существования траектории, характеризующей динамическое конкурентное равновесие для пропорционально расширяющейся экономики, предложил фон Нейман в краткой, но, возможно, наиболее профессиональной из всех известных до сих пор работ по математической экономии.4
Обе работы (Вальда и Неймана) затрагивают самую суть проблемы общего равновесия, во всяком случае, они имеют дело с теми тремя задачами, которые были перечислены выше. Вопросы, которым посвящены эти работы, получили дальнейшее развитие в трудах Эрроу, Дебре, Маккензи, Раднера, Аумана и других исследователей, занимавшихся преимущественно микроэкономической теорией. Эти экономисты стремились лучше понять, каким образом децентрализованная экономическая система, предполагающая свободу действий каждого индивидуума, может определять такое рыночное поведение участников, при котором окажется возможным эффективное распределение ресурсов.
В предвоенные годы отчетливо выявилось и второе направление исследований, посвященных проблеме общего равновесия; оно было связано с дискуссией между Кейнсом и сторонниками неоклассического направления. Эта тенденция достигла своего наивысшего развития в книге Джона Р. Хикса "Стоимость и капитал" и книге Оскара Ланге "Гибкость цен и занятость".5 Во введении к своей работе Хикс ясно указывал: хотя приводимая в книге теоретическая концепция была разработана совершенно независимо от идей Кейнса, метод, предполагаемый теорией общего равновесия, может способствовать поискам более глубокого ответа на следующий вопрос:
"Почему, сталкиваясь с важнейшими проблемами социальной политики, Кейнс пришел к результатам, отличным от выводов своих предшественников... Эти разделы нашего исследования... могут показаться читателю наиболее интересными по причине исключительной важности указанных вопросов".6
Если же говорить о разработке моделей общего равновесия, то вклад Хикса можно охарактеризовать следующим образом: он смог успешно развить неоклассическую теорию оптимального поведения потребителей и конкурирующих между собой фирм, функции рыночного спроса и предложения соответствовали исходным предположениям о поведении участников хозяйственного процесса. Кроме того, Хикс положил начало разработке теории устойчивости конкурентной экономики; в своих формулировках условий стабильности он использовал свойства функций спроса (избыточного спроса). Хикс интуитивно понимал значение эффектов замещения для обеспечения устойчивости системы, хотя предлагавшееся им определение устойчивости не может быть использовано при анализе динамических процессов.7
Ланге, готовивший свою книгу во время второй мировой войны, обратил особое внимание на развитие теории общего равновесия, с тем чтобы она помогла дать представление о подлинном смысле развернувшейся в те годы дискуссии по вопросам хозяйственной политики и найти правильный ответ на вопрос о том, в какой степени необходимо использовать предлагавшиеся Кейнсом мероприятия в условиях, когда механизм цен, по утверждению некоторых экономистов, оказывался не в состоянии решить проблему безработицы.
"Необходимо рассмотреть проблему в рамках теории общего равновесия... Однако для наших целей эту теорию необходимо представить таким образом, чтобы влияние денег учитывалось в явном виде...".8
Как указывал Ланге, его монография опиралась на работы Хикса и Самуэльсона; в книге Ланге микроэкономическая структура системы была разработана настолько подробно, что автор смог существенно модифицировать модель: удовлетворяя четырем перечисленным выше требованиям, она должна была оказаться пригодной для исследования проблем, связанных с функционированием денег. Со времени выхода в свет книги Ланге получило развитие второе направление в теории общего равновесия. Для краткости его можно назвать "микроэкономические основания макроэкономической теории"; вместе с тем для того, чтобы отделить такой подход, скажем, от концепции Вальда, можно говорить, что в книге Ланге используется макроэкономический подход.9
Динамический аспект проблемы равновесия
Несмотря на то что и в 30-е годы, и в предшествовавший период некоторые экономисты проводили тщательное различие между понятиями "равновесие" и "стабильность", первым, кто предложил четкую классификацию общих систем и методы их анализа, был П. Самуэльсон. Его книга "Основания экономического анализа" опирается на ряд ранних работ, в которых равновесие определялось как набор значений переменных, удовлетворяющих определенным условиям.10
Любую экономическую проблему можно сформулировать таким образом, что равновесие будет представлять собой определенное состояние системы, при котором удовлетворяются некие условия, называемые "условиями равновесия". Поскольку экономистам приходилось иметь дело и со сравнительной статикой (иначе говоря, с задачами следующего типа: каким образом изменения тех или иных параметров влияют на достигаемое системой состояние равновесия), динамический анализ оказался связанным с любыми теоретическими построениями в рамках сравнительной статики. Наиболее существенный вклад Самуэльсона в развитие рассматриваемой теории сводился к следующему: он показал, что экономическая наука никогда не ставила перед собой задачу сформулировать в явном виде какие-либо динамические теории, а между тем подобные теории и требовались для дальнейшего развития анализа в рамках сравнительной статики. Без описания динамического механизма, характеризующего реакцию системы на изменение внешних условий,- описания, заданного в форме закона движения рассматриваемой системы, не может считаться обоснованным ни один вывод, опирающийся на анализ сравнительной статики. Неустойчивая система, параметры которой претерпели изменения, вовсе не обязательно снова должна прийти в Состояние такого "нового" равновесия, которое не* временно окажется вполне сравнимым со "старым" равновесием: с логической точки зрения исследование устойчивости системы предшествует сравнительному статическому анализу.
Тем самым становятся очевидными выводы, относящиеся к системе общего равновесия Вальраса. В то время спецификация условий равновесия в рамках вальрасовой системы предполагала множество соотношений, которые выражали мысль о том, что "спрос должен быть равен предложению" на каждом из рынков. Эти условия выводились на основе следующих предположений: 1) потребители максимизируют значения функции полезности; 2) конкурентные фирмы максимизируют величину получаемой прибыли. В работе Вальда было показано, что при таких ограничениях на вид соответствующих функций, которые диктуются соображениями здравого смысла, "существует" некий набор равновесных цен, обеспечивающих равенство между спросом и предложением. Но что представляет собой механизм, вызывающий те или иные изменения цен? Отсутствие такого механизма, обеспечивающего реакцию цен на изменение внешних условий, делало анализ устойчивости невозможным.
И в прошлом такие авторы, как Хикс, разумеется, сначала определяли, что такое устойчивость и что такое неустойчивость, и лишь затем использовали эти определения для классификации состояний равновесия. Условия равновесия, по Вальрасу, можно записать следующим образом:
Di(P1,..., Pn)-Si(P1,..., Pn)=0, i=1, 2,...,n, (1)
или
Ei(Pi,...,Pn)=0 i=1, 2,...,n, (2)
где Р, представляет собой i-ю цену, а Di, Si, и Еi, - соответственно спрос, предложение и избыточный спрос на i-й товар.
В соответствии с определением Хикса система (2) характеризуется совершенной устойчивостью, если у матрицы, составленной из частных производных этой системы
главные миноры определителя обнаруживают меняющиеся знаки, другими словами, если
Безусловно, подобное определение учитывает лишь свойства системы (2) и вообще не содержит каких-либо соображений о характере динамического процесса, выражающего реакцию системы на возмущающие воздействия. Ограничимся рассмотрением одного рынка и предположим, что функции спроса и предложения носят линейный характер, тогда приведенное определение сводится к элементарному утверждению:
Наклон функции спроса должен быть меньше, чем наклон функции предложения. (5)
Самуэльсон использовал широко распространенное в математической литературе определение устойчивости, применив его к анализу данной динамической системы: равновесие носит устойчивый характер, если система "притягивается" к данной точке равновесия, другими словами, когда система выведена из состояния равновесия, она в соответствии с динамическими законами возвращается к этому состоянию. Условие равновесия (2) следует, таким образом, дополнить динамической моделью вроде тех, которые используются в процессе "нащупывания" (tatonnement):
dpi/dt = kiEi(pi, ...,pn), i=l, 2,...,n. (6)
В соответствии с приведенной выше формулой скорость изменения цены i-го товара пропорциональна масштабам избыточного спроса на i-м рынке. Для линейной системы (иначе говоря, для системы, в которой функции избыточного спроса линейны) Самуэльсону удалось, используя ряд положений, относящихся к соответствующим разделам математической теории, вывести необходимое и достаточное условие устойчивости. В случае линейной системы можно перейти от соотношения (6) к следующему выражению:
dpi/dt = ki(aij + bijpij), i=l, 2,...,n. (7)
Запишем его в векторно-матричной форме:
где р = (pi,...,pn)T, К = diag ( k1, k2,..., kn), А = (аij), В = (bij).
Самуэльсон предположил, что К = diag (1,1,. . ., 1), и обнаружил, что состояние равновесия, по Вальрасу,- описываемое решением системы (2) - устойчиво в том, и только в том, случае, когда действительные части характеристических чисел матрицы В отрицательны.
В случае одного рынка [В = (b)] такое условие устойчивости означает, что угол наклона функции избыточного спроса должен быть отрицательным, иначе говоря, оно совпадает с условием (5), выведенным Хиксом. Итак, предложенное Самуэльсоном определение динамической устойчивости в случае линейных систем позволяет сформулировать необходимое и достаточное условия устойчивости,- условия, которые связывают устойчивость с, математическими свойствами якобиана, составленного из производных функций избыточного спроса. В общем случае трудно предложить экономическую интерпретацию указанных условий, тогда как определение Хикса предлагает, по существу, экономическую характеристику устойчивости, Чередование знаков у последовательности главных миноров якобиана представляет собой достаточное условие существования решения у рассматриваемой оптимизационной задачи.
Следующая проблема состояла в том, чтобы получить характеристику (по возможности содержательную с экономической точки зрения) условий, при которых "истинное" определение стабильности, данное Самуэльсоном, эквивалентно "приемлемому из интуитивных соображений" критерию Хикса.
В начале 40-х годов А. Смизис и Л. А. Метцлер предложили свои соображения по этому вопросу.11 Смизис впервые показал, что в некоторых случаях условиям устойчивости, использующим характеристические числа матрицы, может быть дана экономическая интерпретация. О работе Метцлера приводились чрезвычайно изящные выкладки, демонстрировавшие эквивалентность критериев Хикса и Самуэльсона для различных случаев:
а) если предположить, что в соотношении (8) k ≠ diag (1, 1,..., 1), то критерий Хикса следует из определений Самуэльсона;
б) если предположить, что все товары являются абсолютными субститутами (т. е. dEi/dpj > 0, i = j), то определения Хикса и Самуэльсона оказываются эквивалентными.
Важно определить, насколько ограничен набор подобных предположений. Во-первых, в них фигурирует "заданная форма функций избыточного спроса", скажем форма, предусмотренная соотношением (6). При этом авторы не прибегают к каким-либо гипотезам экономического содержания для того, чтобы сократить число возможных видов функций Ei, стало быть, дело не может быть сведено целиком к экономической стороне рассматриваемой проблемы (исключение, возможно, составляет предположение об абсолютной "валовой заменяемости" товаров, введенное с целью придать системе потенциальные стабилизирующие механизмы). Более того, с точки зрения "истинной" динамической устойчивости ключевую роль играет предположение о линейном характере функций избыточного спроса.
Безусловно, устойчивость была определена для любых хозяйственных процессов, описываемых уравнениями (6), однако доказательства удалось получить лишь для линейных систем типа системы (8). Тем не менее отмеченные результаты исследований оказывались достаточно полезными: дело в том, что неустойчивость системы (8) оказывается достаточным условием неустойчивости в рамках системы (6). И все же оставался нерешенным важный вопрос - вопрос об определении содержательных с экономической точки зрения условий, обеспечивающих устойчивость системы (6). Подобные теоремы чрезвычайно сложны; потребовалось почти 15 лет, прежде чем экономисты смогли предложить строгие доказательства таких теорем.
Модель Эрроу - Дебре
Возникновение распространенного в настоящее время подхода к теории общего равновесия может быть датировано 1954 г.: именно в этом году К. Дж. Эрроу и Ж. Дебре перестроили систему Вальраса, включив в нее множество производственных возможностей вместо технологий, заданных "фиксированными коэффициентами". Функции полезности, обладающие "хорошими" свойствами, Эрроу и Дебре заменили системой предпочтений.12 Их метод доказательства отличался от метода Вальда.
Обратимся к различным доказательствам существования конкурентного равновесия, которые были предложены экономистами; это позволит получить представление об общей эволюции теории равновесия. Проблема существования формулируется достаточно просто: существует ли такой вектор неотрицательных цеп (каждому рынку должна соответствовать одна, и только одна, цена), что в случае, когда производители и потребители максимизируют значения своих целевых функций при заданных ценах, соотношение между спросом и предложением, которые сформируются на указанных рынках в результате оптимального поведения участников, определит вектор цен, равный исходному?
После того как проблема была сформулирована таким образом, стал ясен путь ее решения. Рассмотрим неотрицательный вектор цен р. Решение оптимизационных задач потребителями и производителями при данных ценах определит избыточный спрос или избыточное предложение на каждом рынке (в соответствии с соотношениями, определяющими формирование рыночного спроса и предложения). Если, скажем, на i-м рынке имеет место избыточное предложение, то i-й компонент вектора р будет уменьшаться, если же имеет место избыточный спрос, то этот компонент станет увеличиваться. При каких условиях такой процесс определения р окажется сходящимся? Существуют ли экономически оправданные ограничения на поведение потребителей и производителей - ограничения, в конечном счете ведущие к установлению таких Цен, которые обеспечивают равенство спроса и предложения на всех рынках одновременно?13
Эрроу и Дебре формулировали указанную проблему, используя понятие равновесия, достигаемого в игре с п участниками, и показали, что понятие конкурентного равновесия соответствует понятию равновесия, по Нэшу, в таких играх (иначе говоря, понятию "наилучшего исхода при заданной реакции всех остальных участников"). О том же году Л. Маккензи, используя теорему Какутани о неподвижной точке, доказал существование конкурентного равновесия.14 Суть теоремы Какутани состоит в следующем. Если к множеству с "хорошими" геометрическими свойствами (компактное, выпуклое n-мерное подпространство евклидова пространства) применить полунепрерывное сверху точечно-множественное отображение этого множества в себя, то по крайней мере одна точка множества окажется неподвижной, иначе говоря, по крайней мере одна точка совпадает со своим отображением. Менее общую теорему Брауэра о неподвижной точке в 1955 г. использовал Д. Гэйл, он доказал таким образом существование конкурентного равновесия в моделях того же типа, что и модель Вальда.15 Почти одновременно X. Никайдо и Л. Маккензи, используя теорему Какутани, доказали существование конкурентного равновесия для обобщенных моделей Эрроу - Дебре.16
Обращаясь к вопросу об экономической интерпретации упоминавшегося выше метода доказательства, Маккензи указывал на то, что, руководствуясь соображениями экономического характера, можно предположить основанную на законе Вальраса линейную зависимость между ценами на п различных товаров и однородность нулевой степени, характеризующую функции спроса. Запишем эту зависимость следующим образом: р1 + р2 + ... + рn = 1; в таком случае любой неотрицательный вектор цен будет находиться внутри компактного, выпуклого подмножества n-мерного евклидова пространства, точнее, внутри единичного n-мерного симплекса.
Рассмотрим один из таких векторов. При заданном векторе цен поиск оптимального решения участником хозяйственного процесса будет представлять собой полунепрерывное сверху отображение вектора цен в вектор количества товаров (малые изменения цен обусловливают малые изменения количеств). Новые количества товаров, приводя в действие рыночные силы, в свою очередь непрерывно отображаются на исходное множество цен, определяя новые цены. Таким образом, исходный вектор р позволяет получить вектор q0, который определяет p1, а он в свою очередь позволяет получить q1 и т. д.
Тогда в соответствии с теоремой Какутани можно утверждать, что существует некий вектор р*, этот вектор позволяет получить q*, а вектор q* в свою очередь определяет именно так же вектор p*. Вектор р*, обладающий такими свойствами, и характеризует конкурентное равновесие.
Некоторые математики глубоко убеждены, что "если какая-либо проблема стала достоянием учебников, то она умерла для исследователей"; и, если исходить из подобной логики, можно заключить, что появление в 1959 г. книги Дебре "Теория стоимости" ознаменовало конец исследований, посвященных проблеме "существования конкурентного равновесия".17 В работе Дебре на 102 страницах "насыщенного" текста изложена полная аксиоматическая система, описывающая поведение потребителя и поведение фирмы, а также приведено доказательство существования равновесия, использующее теорему Какутани. Кроме того, он показал, что конкурентное равновесие обеспечивает оптимальное, по Парето, распределение товаров и услуг: любое иное распределение этих товаров и услуг повлекло бы за собой ухудшение позиций по крайней мере одного участника хозяйственного процесса. Наконец, Дебре смог показать, что сделанные им выводы полностью сохранят силу при переходе к анализу мира, в котором присутствует неопределенность перспектив, если предположить, что в рамках такой хозяйственной системы функционирует достаточно много таких рынков товаров и услуг, на которых заключаются сделки на срок (futures markets for the goods and services).
Теория устойчивости
После того как к концу 50-х годов вопрос о существовании конкурентного равновесия был "решен", математики вновь обратились к тем проблемам теории динамических процессов, которые еще в начале 40-х годов рассматривали Хикс, Самуэльсон, Метцлер и некоторые другие авторы. Исследования довольно быстро сосредоточились иа решении следующих проблем: 1) привести систему Вальраса к тому виду, какой характерен для модели Эрроу - Дебре; 2) предложить модельное описание механизма "нащупывания" равновесного состояния ("taton-oement"); 3) найти экономически обоснованные условия, вторые обеспечивали бы устойчивое равновесие хозяйственной системы при данном механизме "нащупывания" Рвакпии.
Подобно тому как при решении вопроса о существовании конкурентного равновесия использовалась теорема о непрерывной точке, теория устойчивости использовала новый для экономистов, но на самом деле достаточно старый математический аппарат: речь идет о "втором" (не требующем явного решения уравнений) методе анализа устойчивости, по Ляпунову.18
Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение следующего вида:
где переменная х принимает лишь действительные значения, 
обозначает dx/dt, a f представляет собой функцию времени, обладающую "хорошими" свойствами (дифференцируема в любой точке). Состояние равновесия здесь оказывается функцией ремени, или состояния, достигнутого в точке xe(t) , в которой 
. Чтобы определить, является ли равновесие в точке xe(t) устойчивым, необходимо установить, будет ли "приближаться" к xe(t) другая, расположенная "неподалеку" от нее траектория движения системы.
обозначает dx/dt, a f представляет собой функцию времени, обладающую "хорошими" свойствами (дифференцируема в любой точке). Состояние равновесия здесь оказывается функцией ремени, или состояния, достигнутого в точке xe(t) , в которой . Чтобы определить, является ли равновесие в точке xe(t) устойчивым, необходимо установить, будет ли "приближаться" к xe(t) другая, расположенная "неподалеку" от нее траектория движения системы.
Таким образом, нам требуется: во-первых, рассмотреть равновесие системы, описываемой уравнением (9); во-вторых, измерить расстояние между произвольной и равновесной траекториями рассматриваемой системы; и, в-третьих, изучить вопрос о том, уменьшается ли с течением времени это расстояние между произвольной и равновесной траекториями; если оно действительно уменьшается, то это означает, что система в силу присущих ей свойств из неравновесных состояний приходит к равновесному, и, следовательно, равновесие носит устойчивый характер.
Допустим, что процесс "нащупывания" равновесия может быть описан уравнением (8), причем р, характеризует расстояние между ценой i-того товара и соответствующей точкой равновесия; тогда можно записать следующую систему:
где р = (p1,..., pn)T (символ Т обозначает оператор транспонирования) Очевидно, что р = 0 удовлетворяет условию равновесия, а выражение (1/2 р*р) характеризует у овину квадрата расстояния между текущим значением пены Р и точкой равновесия. Мера (1/2 р*р) "ведет себя" так же, как и сама величина расстояния. Заметим при том, что d/dt (1/2 р*р) = 1/2 (рTр + ррT). Подставив в это соотношение выражение для р из уравнения (10), можно записать:
Достаточным условием устойчивости равновесия указывается следующее условие: d/dt(расстояние) < 0. Это просто означает, что квадратичная форма
должна быть отрицательно определенной. Поскольку К показывает скорость реакции системы в условиях "нащупывания", а В представляет собой якобиан матрицы избыточного спроса, любые ограничения, налагаемые на В и К, которые будут обеспечивать отрицательную определенность квадратичной формы, окажутся экономически содержательными условиями, достаточными для того, чтобы гарантировать устойчивость системы "нащупывания" равновесия, описываемой уравнением (10).
Использование второго метода Ляпунова позволило ряду авторов быстро выяснить достаточные условия устойчивости процессов "нащупывания" равновесия. Работы Эрроу и Гурвица, Хана, Негиши, Маккензи, а также Никайдо и Узавы были подготовлены на протяжении Довольно короткого периода .19 Эрроу, Блок и Гурвиц, вапример, доказали, что система (6) обладает "глобальной асимптотической устойчивостью", если функции избыточного спроса дифференцируемы и однородны в нулевой степени по ценам; эти функции должны удовлетворять закону Вальраса, кроме того, все товары в достаточной степени наделены свойством валовой взаимозаменяемости.20
Вскоре выяснилось, что указанные результаты обеспечивают почти все сведения, на которые можно было рассчитывать; это стало особенно очевидным, когда Герберт Скаф проанализировал свойства некоторых классов интересных и, по-видимому, "правдоподобных" хозяйственных систем, которые оказывались неустойчивыми.21 Эти примеры "свидетельствуют о том... [что], судя по всему, в условиях конкурентной экономики неустойчивость представляет собой не какое-то исключительное, а скорее повсеместное явление, что же касается глобальной устойчивости, то она [вероятно] может наблюдаться лишь в таких системах поведение которых описывается функциями, обладающими "очень хорошими" свойствами".22
В конце 50-х - начале 60-х годов специалисты приступили к изучению некоторых новых механизмов "нащупывания" равновесия механизмов явно "невальрасовского" типа. В частности, в работах Узавы, Хана, а также Хана и Негиши впервые исследовались процессы, которые теперь называют реакцией системы без "нащупывания" равновесия (nontatonnement processes).23 Указанный термин, разумеется, не может дать достаточно полное представление о значительном разнообразии механизмов приспособления хозяйственной системы к меняющимся условиям, такие механизмы предполагают возможность прямого ведения торговых операций в условиях, когда хозяйственная система находится в неравновесном состоянии. Анализируя такие процессы, нетрудно показать, что "рациональные" правила, которые выступают в качестве ограничений, накладываемых на действительные торговые сделки, в конечном счете приводят к оптимальному, по Парето, распределению ресурсов.24
Таким образом, к началу 60-х годов в литературе утвердилась довольно хорошо аргументированная модель децентрализованной экономики, базирующейся на частной собственности; стало ясным, что в рамках такой системы может быть доказано существование оптимального, по Парето, конкурентного равновесия. Такое равновесие устойчиво, если механизм реакции цен на изменение внешних условий обладает рядом свойств, которые в литературе принято считать "общепризнанными". В это время сформировались общие направления микроэкономических исследований в области теории общего равновесия, и последующие исследования, как казалось в то время, должны быть посвящены дальнейшему обобщению основной модели, она должна включать предпосылки, позволяющие исследовать процессы ценообразования в условиях несовершенной конкуренции, учитывающие роль фактора неопределенности, внешние эффекты, воздействующие на индивидуальные хозяйственные операции, а также существование "общественных благ" ("public goods"). Можно с уверенностью сказать, что в первой половине 60-х годов в литературе, посвященной теории общего равновесия, действительно преобладали подобные исследования.
Тем не менее на протяжении последних 10-12 лет основное направление исследований в данной области несколько сместилось; наибольшую роль в этом сыграли два обстоятельства. Во-первых, всеобщее возрождение интереса к теории денег повлекло за собой пересмотр тех микроэкономических постулатов, которые лежат в основании макроэкономической теории; в связи с этим неизбежно должен был возникнуть вопрос о характеристиках общего равновесия как метода исследования. Во-вторых, экономисты-математики, которые упорно исследовали с теоретических позиций случай игры с n участниками, смогли предложить новый изящный подход к проблеме взаимоотношений, складывающихся между большим числом участников,- проблеме, которая прежде считалась предметом исследования одной лишь теории общего равновесия. Ниже мы рассмотрим оба перечисленных выше направления исследований, а здесь заметим только, что теоретико-игровой подход к анализу вальрасовых систем более подробно рассматривается в следующей главе.
Микроэкономические основания макроэкономической теории
Макроэкономический подход к теории общего равновесия (в духе идей, которые в свое время развивал О. Ланге) на протяжении 50-х годов получил дальнейшее развитие, а параллельно завоевал известность более изящный и формальный анализ, достигший наивысшего развития в работе Д. Патинкина "Деньги, процент и цены".25 Патинкин включил кассовые остатки (в реальном выражении) в число временных, от которых зависят функции избыточного спроса в рамках частично дезагрегированной системы, включающей рынки товаров, денежные рынки, рынки труда и рынки облигаций. Использование безагрегированной структуры модели позволило по-новому взглянуть на дискуссию между Кейнсом и представителями неоклассической теории. Формировавшаяся концепция "неоклассического синтеза" смогла получить те же выводы, которые следовали из "классической" теории денег,- такие, например, как выводы количественной теории, не основывающейся на предположении о полной занятости, а также положение, сходное с тезисом о "нейтральности" денег. Кроме того, теория Кейнса в этой интерпретации оказывалась частным случаем общей неоклассической теории,- случаем, когда наблюдаются неравновесные черты в функционировании одного или нескольких рынков.
Ряд экономистов подверг критике с различных позиции предложенную Патинкином концепцию, пытавшуюся объединить теорию стоимости (теорию общего равновесия) и теорию денег. В рамках данной главы просто невозможно подробно рассмотреть все те вопросы теории денег, которые были подняты в работе Патинкина.26 Не удастся нам также обсудить вопрос обо всех многочисленных и разнообразных аналитических построениях, вызванных к жизни содержанием этой работы (ведь многие экономисты сочли необходимым пересмотреть с позиций, изложенных в книге Патинкина, и другие теоретические проблемы). Ограничимся здесь лишь ссылкой на то, что существование денег в модели Патинкина не всегда совместимо с предложенным Эрроу и Дебре способом введения в модель факторов неопределенности, рынков срочных сделок, ожиданий, спекуляции, а также механизма реакции цен на изменения внешних условий в рамках децентрализованной системы, в которой каждый участник хозяйственного процесса максимизирует свою целевую функцию, а "нащупывание" равновесия осуществляется централизованным способом с помощью "аукционера".
В последних работах, посвященных теории общего равновесия, особое внимание уделялось следующему вопросу: можно ли согласовать между собой оптимизационные модели децентрализованной экономики, в которых деньги не выступали в роли актива, а служили лишь масштабом цен, с моделями, в которых на процессы принятия решений и структуру хозяйственных операций влияет неопределенность перспектив, характеризующих будущую систему сделок.27 В этой связи можно сослаться на два основных направления исследований: 1) быстро увеличивается число работ, посвященных детальному анализу такой проблемы "деньги" и/или "издержки осуществления хозяйственных операций"; "деньги" и/или "фактор неопределенности" - место, которое эти вопросы занимают в теории общего равновесия, основанной на статической модели Эрроу - Дебре; 2) обширная литература, посвященная неравновесным механизмам реакции системы на изменение внешних условий; зная эти механизмы, экономисты могут исследовать проблемы хозяйственной информации,- проблемы, порождаемые неопределенностью перспектив относительно будущего поведения участников хозяйственного процесса (ведь именно существование фактора неопределенности и порождает необходимость использования денег в качестве "финансового актива").
Рой Раднер предложил более общий вариант модели Эрроу - Дебре - вариант, который учитывает влияние, оказываемое неопределенностью перспектив. Он показал, что функционирование системы в будущем можно описать с помощью "стандартной" модели, если только хозяйственная система располагает самой разветвленной системой таких рынков срочных сделок, на которых заключаются условные контракты (futures markets in conditional contracts).28 Такой подход позволил Раднеру в следующей работе развить предложенную Хиксом идею относительно временного равновесия для последовательности состояний экономики; с помощью таких моделей "можно изучать вопрос о том, существует ли какой-либо способ согласования ожиданий и планов различных участников хозяйственного процесса". Вместе с тем оказалось возможным ввести более общее (по сравнению с формулировкой Эрроу и Дебре) определение равновесия. Под равновесием понимается теперь "такая совокупность цен на рынках текущих продаж, совокупность общих ожиданий и согласованных индивидуальных планов (каждый участник хозяйственного процесса при этом руководствуется одним планом), что при заданных ценах и ценовых ожиданиях каждый индивидуальный план оказывается оптимальным с точки зрения Данного участника при соответствующей последовательности бюджетных ограничений".29
Хан, Курц и Старретт использовали понятие временной последовательности состояний экономики, описываемых моделью Эрроу - Дебре, при исследовании различных хозяйственных форм, обеспечивающих функционирование.
Сделок при переходе от одного состояния к другому; вместе с тем указанный подход позволил изучить следующий вопрос: какую роль могут играть активы, подобные деньгам, в выработке правил заключения таких сделок, которые обеспечивают эффективное распределение ресурсов.30 Последние работы Грамона, Юне, Сондермана и некоторых других авторов посвящены аналогичной проблеме - в них рассматриваются институциональные характеристики денежной экономики и возможности введения этих характеристик в модели общего равновесия.31 Например, Дж, Грин смог выделить особый элемент хозяйственной жизни - рынок ссуд под обеспечение (collaterol loans), который оказался неэффективным в рамках модели Эрроу- Дебре (при предположении о том, что проблемы, порождаемые состоянием общей неопределенности, удается решить с помощью достаточно большого числа рынков, на которых осуществляются срочные сделки).32
Теоретической основой современных исследований в области неравновесных механизмов реакции системы на изменение внешних условий служит сформулированное в предшествующий период описание подобных процессов. Отказавшись от аукционера, отмечал Хан, мы оказались перед необходимостью дать более четкие ответы на следующие вопросы: какие факторы определяют спрос предпринимателей на товары и особенно каковы те внешние признаки изменившихся хозяйственных условий, на которые реагирует такой спрос.33 Эти проблемы в последнее время оказались в центре внимания исследователей. Фишер, Даймонд, Хэй, Иваи и ряд других авторов в своих работах рассмотрели различные предположения относительно "поискового" рыночного механизма, особенностей формирования цен предложения и каналов распространения информации в рамках децентрализованной системы; они изучили взаимосвязь между перечисленными выше предпосылками и той ролью, которую деньги играют в процессах приспособления децентрализованной хозяйственной системы к изменению внешних условий.34
В целом "возрождение интереса к роли денег" в значительной степени расширило сферу исследований, посвященных проблеме общего равновесия, и обогатило их методологию. Прошедшее десятилетие характеризовалось не только дальнейшим развитием теории общего равновесия, но и некоторой ее "переориентацией". И те, кто оценивает метод, предложенный Дебре в его работе "Теория стоимости", как некую вершину исследований в облачи общего равновесия, конечно, отчасти правы; и все же они не могут игнорировать следующее обстоятельство: "покончив" со всеми попытками менее строгого моделирования хозяйственных процессов, эта работа одновременно положила начало серьезному анализу в области теории общего равновесия,- анализу, достаточно богатому и гибкому, чтобы "совладать" с постоянно меняющимся предметом экономической теории.35
Ядро конкурентной экономики
Совсем иной подход к исследованию системы, включающей большое число участников хозяйственного процесса, был впервые предложен в работе Ф. И. Эджуорта "Математическая психология", написанной в 1881 г., т. е. примерно в то же время, что и "Элементы политической экономии" Вальраса (1874).36 Основу рыночного механизма Эджуорт видел в процессах заключения (и последующего перезаключения) условных сделок (не предполагающих фактического обмена), причем каждый из участников хозяйственного процесса прибегает к перезаключению условных сделок до тех пор, пока ему удается таким путем обеспечить для себя какие-либо дополнительные выгоды. С помощью эвристических методов Эджуорт смог обосновать следующие предположения. Допустим, что число участников хозяйственного процесса увеличивается намного быстрей, чем число товаров, служащих предметом торговых сделок; в подобной ситуации будет существовать такое единственное распределение товаров между участниками процесса, при котором ни одна группа продавцов (или покупателей) не может извлечь дополнительных выгод, прибегнув к перезаключению условных сделок. Указанное распределение в действительности носит конкурентный характер и может быть достигнуто в результате того, что все участники процесса максимизируют значения своих целевых функций при заранее заданных ценах.
Эджуорту удалось проникнуть глубоко в суть проблемы и его работы сделали возможным иной, альтернативный подход к вопросу о существовании конкурентного Равновесия. Такой подход был "возрожден" и представлен в более строгой математической форме в работе Мартина Шубина, опубликованной в 1959 г.37 Шубик смог доказать предположение Эджуорта о том, что множество допустимых распределений сужается по мере того, как возрастает число участников обмена. Указанная теорема ("предельная теорема" - limit theorem) стала предметом дальнейших исследований в работах Дебре и Скафа а несколько позже Аумана и Винда.38 IIx методы анализа всецело основывались на той трактовке "задачи Эджуорта", которая содержалась в работе М. Шубика: в ней речь шла об "экономической игре", включающей п участников и предлагалось использовать в качестве наилучшего решения понятие "ядра" подобной игры. Для того чтобы такой подход смог полностью утвердить себя в качестве достаточно общего альтернативного подхода, применяемого при анализе моделей общего равновесия, нужно, чтобы он позволил хотя бы частично воспроизвести те результаты, которые уже удалось получить с помощью вальрасовых моделей. Вместе с тем в недавно опубликованных работах можно обнаружить и отдельные указания на "сильные стороны" теоретико-игрового подхода: такой подход открывает, например, новые возможности в деле решения некоторых чрезвычайно сложных проблем взаимодействия между операциями различных участников,- проблем, которые особенно трудно решить в рамках вальрасовых систем: в этой связи можно сослаться, в частности, на теоретико-игровой анализ вопроса о роли, которую играют в моделях общего равновесия случаи экономической неэффективности, обусловленной действием внешних факторов (external diseconomies).39
Выводы
Состояние, в котором теория общего равновесия оказалась к середине 70-х годов, следует признать "здоровым". Намеченная в 30-х годах в работах Хикса и Вальда программа исследований оказалась плодотворной. Эти исследования позволили выработать более глубокие представления о том, каким образом децентрализованные механизмы распределения ресурсов могут обеспечивать "упорядоченные" ("orderly") состояния рынка. В рамках этой теории нашли отражение и те изменения, которые характеризовали новый подход экономистов к текущим проблемам хозяйственного развития. "Открытость" теории общего равновесия к новым веяниям облегчила применение ее методов во многих разделах прикладной экономической науки. Подобное двустороннее взаимодействие, вероятно, может служить лучшим свидетельством того, что и поныне наивы и прочны традиции Смита, Курно, Вальраса, Парето и Эджуорта.
Университет Дюка
ПРИМЕЧАНИЯ:
1 Cournot A. Researches Into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth, trans. N. Bacon, Homewood, 111., Irwin, facsimile paperback, 1963, p. 108.
2 См.: Cassel G. Theory of Social Economy, rev. ed. New York, Harcourt, Brace and Company, 1932. Среди других исследований следует назвать работы К. Шлезингера, Вальда (предшествовавшие его статье 1936 г.), X. фон Штакельберга, Ф. Цейтена и X. Нейссера. Вопрос о роли этих работ рассматривается также в подстрочных примечаниях книги Роберта Дорфмана, Поля Самуэльсона и Роберта Солоу "Линейное программирование и экономический анализ", особенно в столь убедительно изложенном тексте гл. 13. См.: Dorfman R.SamuelsonP., and S о 1 о w R. Linear Programming and Economic Analysis. New York. McGraw-Hill, 1958.
3 Uber einige Gleichungssysteme der mathematische Okonomie.- Zeitschrift fur N ationalokonomie 7 (1936), p. 637-670; переведенной как On Some Systems of Equations in Mathematical Economis.- Econometrica 19 (October 1951), p. 368-403; см. также: Dorfman, Samuelson, and S о 1 о w. Linear Programming, p. 366-368; К u h n H. W. On a Theorem of Wald.- B:Kuhn and Tucker (e d s.). Linear Inequalities and Related Systems, Annals of Mathematics Studies, N 38. Princeton, Princeton University Press, 1956, p. 265-274.
4 Uber ein Okonomiscbes Gleichungs - System and eine Verallge-meinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes.- B: M e n g e r K. (ed.). Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, N 8 (1935- 1936). Vienna, 1937, переведенной Дж. Моргенштерном как A Model of General Economic Equilibrium.- Review of Economic Studies 13 (1945-1946), р. 1-9. Высокую оценку той роли, которую сыграла эта работа, можно найти в статье: Champernowne D. A Note on J. V. Neumann's Article on 'A Model of Economic Equilibrium'.- Review of Economic Studies 13 (1945-1946), p. 10-18.
5 H i с k s J. R. Value and Capital. Oxford, Oxford University Press, 1939; L a n g e 0. Price Flexibility and Employment. Bloomington, Ind., Principia Press, 1944.
6 Hicks G. Value and Capital, p. 4-5. Курсив наш.
7 Эта критическая оценка будет более подробно изложена и обоснована в следующем разделе.
8 L a n g e О. Price Elexibility and Employment, Preface.
9 Можно использовать и иные термины, назвав модели Вальда, Дебре и Аумана "чистой теорией" общего равновесия, а модели, Разработанные Ланге, Патинкином и Клауэром,-"прикладными исследованиями" в указанной области (в моделях старой группы также рассматривается общая система и используется равновесный подход, вместе с тем они опираются на значительно более конкретные предложения о функционировании денег, о роли времени и факторов неопределенности, об ожиданиях и т. п.). Подобная классификация обладает, например, тем преимуществом, что делает, скажем, работу Клауэра вполне сравнимой в теоретическом отношении как с исследованиями Т. Джонсона, который прибег к некоторой модификации предложений, лежащих в основе теории общего равновесия, позволившей решить ряд проблем теории торговли, так и Солоу, который модифицировал эти предпосылки, чтобы дать ответ на вопросы, поставленные теорией экономического роста.
К сожалению, в настоящее время "макроэкономические" проблемы стали трактоваться более широко, это породило серьезные сомнения в том, насколько последовательны с логической точки зрения некоторые предпосылки традиционной "микроэкономической теории". Подобный "вызов", направленный против модели Дебре, однако, никогда не был связан с результатами теоретических исследований в области торговли или экономического роста. Асимметричные черты "прикладных" исследований делают недостаточным простое различение между "чистой" и "прикладной" теорией общего равновесия. Вероятно, и микроэкономический и макроэкономический аспекты теории общего равновесия следует отнести к "чистой" теории в отличие от "прикладных теорий" общего равновесия, включающих проблемы торговли и экономического роста. Данную главу тогда можно было бы озаглавить так: "Системы общего равновесия: чистая теория".
10 Samuelson P. A. Foundations of Economic Analysis. Cambridge, Harvard University Press, 1974, а также The Stability of Equilibrium: Comparative Statics and Dynamics.- Econometrica 9 (April 1941), p. 97-120, The Stability of Equilibrium: Linear and Non-Linear Systems.- Econometrica 10 (January 1942), p. 1-25, The Relation Between Hicksian Stability and True Dynamic Stability.- Econometrica 12 (July-October 1944).
11 Smithies A. The Stability of Competitive Equilibrium,- Econometrica 10 (1942), p. 256-257; M e t z 1 e r L. A. Stability of Multiple Markets: The Hicks Conditions.- Econometrica 13 (1945), p. 277-292.
12 A r r о w К. J. and D e b r e u G. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy.- Econometrica 22 (1954), p. 265-290.
13 Соображение о том, что действия отдельного участка хозяйственного процесса, направленные на оптимизацию индивидуальной целевой функции, приводят к согласующимся в масштабе всего общества результатам, принадлежит Адаму Смиту. Как отмечает вслед за Шумпетером M. Добб, "принцип "Естественной свободы", провозглашенный Смитом,- принцип, который он выдвинул еще в 1749 г., по существу, сводился к утверждению, согласно которому "свободное взаимодействие индивидуумов приводит не к хаосу, а определенному порядку, который проистекает из логических соображений",- порядку, который, следовательно, может быть описан в терминах рационального поведения".- D о b b M. Theories of Value and Distribution Since Adam Smith. New York, Cambridge University Press, 1973, p. 139.
14 M с К e n z i e L. W. On Equilibrium in Graham's Model of World Trade and Other Competitive Systems.- Econometrica 22 (1954); см. также: Kakutani Sh.A Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem.- Duke Mathematical Journal 8 (1941), p. 457-459.
15 Первоначально эта теорема была сформулирована Л. Брауэром. См.: Brouwer L.E.J.On Continuous Vector Distribution on Surfaces.- Amsterdam Proceedings, vol. 11, 1909; Современная формулировка и способы доказательства часто основываются на следующей работе: К n a s t e г В., Kuratowski С., and Mazurkiewiez S. Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur re-dimensional Simplexe.- Fundamenta Mathemaiica 14 (1929), p. 132- 137. См. также: Gale D. The Law of Supply and Demand.- Ma-hematica Scandivica 3 (1955), p. 87-101.
16 Mikado H. On the Classical Multilateral Exchange Problem.- Metroeconomica 8 (1956), p. 116-126; McKenzie L.W. Competitive Equilibrium with Dependent Consumer Preferences.- B: Proceedings of the Second Symposium in Linear Programming, ed. H. A. Antosiewitz. Washington. National Bureau of Standards, 1955.
17 D e b r e u G. The Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium, Cowles Foundation Monograph .N"" 17. New York, John Wiley, 1959.
18 Liapunov A. Probleme general de la stabilite du movement.- Annales de la Faculte des Sciences de 1'Universite de Toulouse 9, N 2 (1907). Этот метод изложен в кн.: LaSalle J. and Lefschets S. Stability by Liapunov's Direct Method. New York, Academic Press, 1961. (На русском языке см.: Ляпунов А. M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Гостехиздат, 1950; Четаев H. Г. Устойчивость движения. М.-Л., Изд. АН СССР, 1962. Самые общие сведения о методе Ляпунова приведены в курсах дифференциальных уравнений. См., например: Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. M., "Наука", 1964, с. 183-190.- Прим. ред.)
19 Arrow K.J. and H u r w i с z L. On the Stability of the Competitive Equilibrium, I.- Econometrica 26 (1958), p. 522- 552; H a h n F. H. Gross Substitutes and the Dynamic Stability of General Equilibrium.- Econometrica 26 (1958), p. 169-170; N e -g i s h i T. A Note on the Stability of an Economy Where all Goods are Gross Substitutes.- Econometrica 26 (1958), p. 445-447; McKenzie L.W. Stability of Equilibrium and the Value of Positive Excess Demand.- Econometrica 28 (1960), p. 606-617; N i-k a i d о H. and U z a w a H. Stability and Non-Negativity in a Walrasian Tatonnement Process.- International Economic Review 2 (1960), p. 50-59.
20 A r r о w К., В 1 о s k H., and H u r w i с z L. On the Stability of the Competitive Equilibrium, II.- Econometrica 26 (1959), p. 89-109.
21 S с а r f H. Some Examples of Global Instability of the Competitive Equilibrium.- International Economic Review 1 (1960), p. 157-172.
22 N i k a i d о H. Convex Structures and Economic Theory. New York, Academic Press, 1968, p. 337.
23 U z a w a H. On the Stability of Edgeworth's Barter Process,- International Economic Review 3 (1962), p. 218-232; H a h n F. H. On the Stability of Pure Exchange Equilibrium.- International Economic Review 3 (1962), p. 206-213; H a h n F. H. and N e -g i s h i T. A Theorem on Non-Tatonnement Stability.- Econometrica 30 (1962), p. 463-469.
24 Мы могли бы потребовать, чтобы, приближаясь к равновесному состоянию, последовательные распределения товаров между участниками обмена обеспечивали увеличение значений индивидуальных функций у тех, кто заключает (перезаключает) сделки; тогда процесс достижения равновесия можно рассматривать как движение по градиенту соответствующих целевых функций.
25 Р a t i n k i n D. Money, Interest, and Prices, 2d ed. New York, Harper and Row, 1965.
26 Некоторое представление об этой литературе могут дать следующие работы: Leijonhufvud A. On Keynesian Economics and the Economics of Keynes. New York, Oxford University Press, 1968; Weintraub E.R. Uncertainty and the Keynesian Revolution,- History of Political Economy 6, N 4 (1976).
27 Превосходное обсуждение перечисленных выше проблем можно найти в кн.: H a h n F. H. On the Notion of Equilibrium in Economics. Cambridge, Cambridge University Press, 1973.
28 R a d n e r R. Competitive Equilibrium Under Uncertainty.- Econometrica (1968), p. 31-58.
29 Radnor R. Problems in the Theory of Markets Under Uncertainty.-American Economic Review (May 1970), p. 458- 459.
30 H a h n F. H. Equilibrium with Transaction Costs.- Econometrica 39 (1971), p. 417-439, и On Transactions Costs, Inessential Sequence Economies and Money.- Review of Economic Studies 40 (October 1973), p. 449-463; К u r z M. Equilibrium in a Finite Sequence of Markets with Transaction Costs.- Econometrica 42 (1974), p. 1-20; Starrett D. Inefficiency and the Demand for Money in a Sequence Economy.- Review of Economic Studies 40 (October 1973), p. 437-449.
31 Grandmont J.M. and Y. Y о u n e s On the Efficiency of Monetary Equilibrium.- Review of Economic Studies 40 (April 1973), p. 149-167, Grogdmont J., Y о u n e s Y. On the Role of Money and the Existence of a Monetary Equilibrium.- Review of Economic Studies 42 (July 1975), p. 355-373; см. также работы Грамона и Зондермана: D r e z e J. (e d.). Allocation Under Uncertainty, Equilibrium, and Optimality. London, Macmillan & Co., 1973.
32 G r e e n J. Temporary General Equilibrium in a Sequential Trading Model with Spot and Future Transactions.- Econometrica 41 (1973), p. 1103-1124.
33 H a h n F. H. Some Adjustment Problems.- Econometrica 38 (1970), p. 1-17.
34 См., например; Fisher F. On Price Adjustment Without an Auctioneer.- Review of Economic Studies 39 (January 1972), p. 1-17, и Stability and Competitive Equilibrium in Two Model of Search and Individual Price Adjustment.- Journal of Economic Theory 6 (October 1973), p. 446-471; Diamond A. A Model of Price Adjustment.- Journal of Economic Theory 3 (June 1971), p. 156- 169; Hey J. D. Price Adjustment in an Atomistic Market,- Journal of Economic Theory R (August 1974), p. 483-500; I w a i K. The Firm in Uncertain Markets and its Price, Wage, and Employment Adjustment.- Review of Economic Studies 41 (April 1974), p. 257-277.
35 В связи с этим можно отметить исследование Вальтера Изарда, основанное на модели Дебре. Эта работа открывает новые пути исследования в науке о районировании и географическом размещении. См.: I s a r d W. General Theory: Social, Political, Economic and Regional with Particular Reference to Decision-Making Analysis. Cambridge, Massachusetts Institute of Technology Press, 1969.
36 Edgeworth F. Y. Mathematical Psychics. London, Kegan-Paul, 1881.
37 S h u b i k M. Edgeworth Market Games.-В: Tucher A. W. and Luce R.D.(eds-). Contributions to the Theory of Games, IV, Annals of Mathematics Studies, N 40. Princeton, Princeton University Press, 1959.
38 D e b r e u G. and Scarf H. A Limit Theorem on the Core of an Economy.- International Economic Review 4 (September 1963, p. 235-246; Aumann R. Markets with a Continuum of Traders.- Econometrica 32 (1964), p. 39-50; V i n d K. Edgeworth Allocations in an Exchange Economy with Many Traders.- International Economic Review 5 (1964), p. 165-177.
39 См., например; Shapley L.S. and S h u b i k M. On the Core of an Economic System with Externalities.- American Economic Review 59 (September 1969), p. 678-684.