economicus.ru
 Economicus.Ru » Галерея экономистов » Теория игр

Теория игр

Game Theory
 
Источник: Селигмен Б. Основные течения современной экономической мысли. М. "Прогресс". 1968.
Селигмен Б.
ОТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕАЛИЗМА К МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ
ПОСЛЕДНИЕ ДОСТИЖЕНИЯ ТЕХНИКИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА: ТЕОРИЯ ИГР И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Несмотря на то что традиционная теория постоянно стремилась выдвинуть на первый план понятие экономической гармонии, противоречия в обществе, на которые указывали Рикардо, Маркс, Джоан Робинсон и другие ученые, невозможно было игнорировать. Противоречия как движущая сила изменений и даже прогресса представляли собой предмет исследований многих ученых-социологов в прошлом 255. Верно, некоторые теоретики были настолько поглощены тонкостями теории цен и капитала, что попросту игнорировали экономические и социальные противоречия. Эти экономисты считали, что вопрос о противоречиях слишком широк и относится скорее к сфере социологии, тогда как экономическая наука должна сосредоточить внимание на гораздо более узких вопросах. Тем не менее в значительной части упоминавшихся исследований о процессе внедрения новшеств, олигополии и экономическом развитии неизбежно рассматривались проблемы противоречий и противоречивых интересов. Обойти их не представлялось возможным, в особенности при анализе таких вопросов, как установление цен или инвестиции. В особенности в последней области решения должны опираться на нечто большее, чем соображения о величине активов, ибо на эти решения зачастую оказывают влияние суровые факты экономических противоречий 256.
Современные экономисты рассматривают если не гармонию, как ее представляли себе в XIX в., то по крайней мере методы достижения экономического равновесия. Основной исходной посылкой является универсальный характер экономических форм, и созданные ими теории призваны описать пути их эффективного функционирования. Тем не менее существование противоречий в экономике невозможно отрицать, и это должно было найти отражение в работах наиболее выдающихся ученых-социологов. Как полагал известный философ и социолог XIX в. Георг Зиммель, противоречия представляют собой одну из форм выражения социальных явлений 257. Положения теории противоречивых интересов в экономической науке восходят, отчасти по крайней мере, к работам Даниила Бернулли о вероятности в игре. Бернулли, представитель известной плеяды швейцарских математиков и ученых XVIII в., изучал так называемый "Санкт-Петербургский парадокс" с целью сформулировать ряд правил, которыми следовало бы руководствоваться при назначении ставок в игре. Решение Бернулли основывалось не на абсолютном значении величины ставки, а на относительном ее значении для участников игры; это положение позднее легло в основу концепции полезности в теории игр 258.
Эти идеи оказались, однако, забытыми, и большинство экономистов их совершенно не использовало. Разработка действенной теории противоречивых интересов, в которой можно было бы использовать математический метод, значительно отставала от других областей экономической науки. Первые сведения о работах в этом направлении относятся к 1928 г., когда молодой математик Джон фон Нейман (1903-1956) выступил на заседании Гёттингенского математического общества с весьма интересной работой в области теории игр. Но разработка теории почти не продвигалась вперед вплоть до 1944 г., когда Нейман в соавторстве с экономистом Принстонского университета Оскаром Моргенштерном (род. 1902) опубликовал ныне широко известную работу "Теория игр и экономическое поведение" 259. Ряд понятий теории игр был предложен французским математиком Эмилем Борелем в начале 20-х годов текущего столетия, однако некоторые решающие выводы, например минимаксное решение, от него ускользнули 260. Нейман родился в Будапеште, учился в Берлинском университете и Цюрихском технологическом институте. Получив докторскую степень в Будапеште в 1926 г., он затем преподавал в Германии на протяжении четырех лет. В 1930 г. он приехал на работу в Принстонский университет, где впоследствии совместно с Моргенштерном приступил к исследованиям по теории игр. Утверждают, что Нейман заинтересовался этой теорией, наблюдая за игрой в покер. Нейман был разносторонним ученым: кроме математических исследований, он занимался квантовой теорией, на которой основаны многие современные достижения атомной энергетики, и принимал активное участие в создании быстродействующих вычислительных машин. Он состоял членом комиссии по атомной энергии и был удостоен многих научных наград. Его кончина в возрасте 53 лет явилась тяжелой утратой для естественных и общественных наук. Оскар Моргенштерн, уроженец Германии, впервые посетил США в 1925 г., а тринадцать лет спустя началась его деятельность в Принстонском университете. Оскар Моргенштерн в своей ранней работе "Пределы экономики" стремился определить действительную роль теории в экономической политике, полагая, что экономический анализ должен быть независим от идеологии 261. Его последняя работа "О точности экономических исследований" 262 содержит блестящую критику некоторых статистических показателей, используемых в экономических исследованиях.
Книга Неймана и Моргенштерна по теории игр внушила экономистам большие надежды, ибо отныне казалось возможным найти ответы на все проблемы, возникшие в связи с существованием монополий, экономических коалиций и других явлений, которые не укладывались в рамки традиционной доктрины свободного рынка, то есть проблемы, которые не могли быть удовлетворительным образом объяснены господствовавшей экономической теорией. Новый подход был чисто математическим. Безусловно, математика для экономистов не является чем-то новым, но до сих пор основной упор делался на исчислении бесконечно малых величин. Неоднократно высказывались сомнения в возможности применить исчисление бесконечно малых для истолкования экономического поведения. Использование же системы уравнений для определения условий равновесия в экономике, никогда реально не находившейся в состоянии равновесия, вообще казалось сомнительным занятием. Более того, существовавшие методы анализа не подходили для исследования проблем, вытекающих из соперничества между антагонистическими группами общества.
В попытке осветить экономические проблемы и соединить теорию с практикой теория игр проникла в относительно новую область математики. Теория игр - это раздел математики, который редко используется в экономике. Ее понятия заимствованы из теории множеств, теории групп и математической логики. Все они имели существенное значение для построения строгой теории. Целью последней было определение стратегии в игре, где образ действия определяется противоречивыми или схожими интересами, доступностью информации и существованием разумного выбора или, возможно, случая. И здесь напрашивается параллель с экономическими и социологическими проблемами. В самом деле, как в игре, так и в экономике люди сталкиваются с аналогичными проблемами. В отличие от теоретических робинзонад казалось, что игра представляет собой единственно подходящую основу для разработки социально-экономической теории. Этот весьма неожиданный подход оказался столь же плодотворным в политике и в военном деле, как и в экономике, так что именно в этих областях применение теории игр было наиболее полезным 263.
Несмотря на мощный математический аппарат, читатель без математической подготовки мог "...понять цели, ход рассуждения и выводы теории" 264. Книга Неймана и Моргенштерна была расценена многими математиками и некоторыми учеными в области общественных наук как поистине новаторское исследование. Джекоб Маршак писал: "Еще десяток таких книг - и прогресс экономической теории гарантирован" 265. Французский экономист Ж. Т. Гильбо назвал ее монументальным достижением 266, а Леонид Гурвич сказал, что "...возможности теории игр представляются исключительными... она способна значительно приблизить экономическую науку к реальности" 267. Одной из областей, в которой была использована теория игр, является статистическая теория принятия решений, в особенности благодаря работе А. Вальда. По мере того как быстро накапливалась литература в области математических и экономических исследований, список которой включает все больше книг и статей 268, казалось, что теперь могут быть решены все основные проблемы. Однако дело обстояло не так: большинство исследований по теории игр носило сугубо теоретический характер и нашло лишь ограниченное практическое применение. Все же остается надежда, что этот разрыв в будущем будет преодолен. Но это никоим образом не умаляет достижений Неймана и Моргенштерна: несмотря на абстрактность, их модель во многом нагляднее созданных впоследствии моделей, и хотя по теории игр появилось много исследований, их авторы в большинстве случаев копировали фундаментальную работу Неймана и Моргенштерна, используя практически все предложенные последними понятия в качестве основы своих вариантов.
По существу, теория игр сделала попытку с математической точностью описать некоторые нерешенные проблемы экономического поведения. Основной посылкой теории является идея о том, что индивидуум стремится максимизировать выигрыш и минимизировать проигрыш, как при игре в шахматы или покер. Однако теория игр заключает в себе нечто большее, чем обычную идею максимизации, ибо без этого нового элемента она мало чем отличалась бы от старого гедонистического подхода. В теории игр индивидуум не Робинзон Крузо, он существует в "социальном" окружении. Согласно новой теории, исход сделки зависит не только от того, чего хочет достичь один игрок, но и от намерений других игроков. По выражению Неймана и Моргенштерна, каждый игрок стремится максимизировать функцию, когда не все переменные величины ему подконтрольны. Это не задача на максимум из прежней теории, но комплекс нескольких задач на максимум, в которых руководящие принципы или стратегии игроков неодинаковы.
Теория игр утверждает, что исход игры, или "выигрыш", может быть определен заранее. Таким образом, решающими факторами становятся различные, но тем не менее совместимые действия, которые предпочтет каждый игрок. Это, в свою очередь, предполагает, что все игроки должны обладать достаточными знаниями и благоразумием. Безусловно, можно играть и неразумно, но это ни в коей мере не способствовало бы развитию теории. Предположение о разумности имеет существенное значение, хотя разумное поведение и оценка вероятности, на которых основаны определенные аспекты теории игр, достаточно трудно найти в реальных условиях. С введением некоторой степени неопределенности для нахождения функции полезности используется понятие последовательности предпочтений 269. Хотя такая функция полезности отлична от использовавшейся ранее в теории, она по-прежнему предусматривает психологические критерии удовлетворения. Утверждают, однако, что кардинальные аспекты (cardinality) функции имеют мало общего с абсолютной шкалой классиков. Она имеет больше сходства с предельными нормами взаимозаменяемости полезностей в их ординалистской трактовке, поскольку функция описывает реакцию на возрастание вероятности. Здесь отсутствует и критерий интенсивности желания, так как назначение полезности состоит в том, чтобы дать возможность выбрать одну из нескольких стратегий. Как только становится известным, ведут ли предпочтения к достижению максимума или минимума, применение к ним вероятностных характеристик позволяет сделать окончательный выбор. Идея полезности в теории игр вытекает частично из понятия об ожидаемом выигрыше при наличии риска. В последнем случае следует определить вероятность и дать решению о последующих действиях соответствующее математическое выражение.
Следовательно, теория игр предполагает, что удовлетворение действительно существует и чти его степень количественно измерима. Однако если функцию полезности математически выразить как отношение объективного результата или выигрыша к удовлетворению, то оказывается, что экономическая теория возвращается на старые позиции кардинальной полезности. Если полезности были бы несравнимы, как полагало большинство экономистов, то теория игр с самого начала оказывалась ошибочной, поскольку в своей основной форме - игре двух лип с нулевой суммой - она исходит из того, что проигрыш полностью покрывает выигрыш 270. Однако если рассматривать только степени различия в парах полезностей, вытекающего из некоторого процесса упорядочения, то можно получить шкалу интервалов, как при измерении температуры 271. Начальная точка и размер интервала при этом значения не имеют. Шкалы по Фаренгейту и Цельсию совершенно различны, однако обе они успешно справляются с "измерением" теплоты. Важно то, что соотношение между шкалами постоянно и что они могут быть сравнены с помощью линейных преобразований. Точно так же обстоит дело с полезностями, ибо до тех пор, пока полезности для участников игры определяются как нечто пропорциональное выигрышам, проблемы не возникает. Функции полезности могут быть определены при условии строгой упорядоченности предпочтений; важной концепцией теории игр является понятие об ожидаемой величине в условиях неопределенности 272. Полезность вытекает из предпочтения и объективно не зависит от выигрыша. Вокруг этого понятия велись пространные дискуссии, но приверженцы теории игр в общем нашли его приемлемым, несмотря на подразумеваемую транзитивность или на упорядоченные последовательные предпочтения, которые в действительности могут и не существовать 273.
Нейман и Моргенштерн начинают с игры при одном участнике, которая может считаться аналогией четко организованному коммунистическому обществу, в котором принципы распределения остаются незыблемыми. Предполагается, что в этом случае интересы общества совпадают с интересами каждого его члена. Вследствие этого принципы распределения неизменны. Игра двух лиц гораздо более интересна: она стала основой для всего последующего развития не только теории игр, но и таких областей, как функции статистических решений и линейное программирование. Она, по мнению Льюса и Райфа, привлекла внимание математиков к изучению экономических и социальных проблем 274. Теория игр выступила со своим собственным точным определением элементов игры: ход - решение игрока, исходя из комплекса возможностей; выбор - возможность, которую фактически избрал игрок; партия - последовательность выборов; дерево игры - общая диаграмма, на которой указаны все партии. Правила игры определяют форму дерева, а отдельные ее части указывают, какой игрок какие сделал ходы. Правила игры указывают также вероятности существующих случайных ходов, исход партий и игры в целом. В каждой конечной точке существует функция выигрыша, вытекающая из понятия полезности. Такова развернутая форма игры, в которой правила игры и функции выигрыша полностью известны всем игрокам.
В обычной игре каждый игрок стремится максимизировать выигрыш, но исход игры зависит не только от его выбора, но и от выбора противника, а он, в свою очередь, зависит от того, что противник думает о выборе первого игрока. Таким образом, интересы участников игры противоречивы. Этот вид игры назван игрой с нулевой суммой, поскольку то, что один игрок выигрывает, другой проигрывает: исходом игры является лишь перераспределение общей суммы. Характер игры становится полностью ясным, если она представлена в форме матрицы. Допустим, первому игроку известна стратегия, или строка матрицы, которую выбрал противник. В таком случае первый игрок выбирает тот столбец матрицы, который даст ему максимальный выигрыш. Предвидя такой ход рассуждений, второй игрок может избрать иную строку матрицы, которая обеспечила бы ему наивыгоднейшую ситуацию. С другой стороны, если первый игрок заподозрит, что его стратегия стала известна, то ему следует избрать тот столбец матрицы, согласно которому самый малый выигрыш был бы возможно большим из всех возможных. По существу, первый игрок стремится получить наибольший минимальный выигрыш - максиминная стратегия, а второй участник игры - наименьший максимальный выигрыш - минимаксная стратегия. Безусловно, подобная игра представляет собой предельно осторожную консервативную игру, так как безрассудство могло бы привести к большим потерям. Когда стратегии обоих игроков совпадают, то есть когда максимин и минимакс находятся в одной ячейке или клеточке матрицы, достигается "седловая точка", или равновесие. В этом случае имеет место скорее оборонительная, нежели агрессивная игра 275. Это такого рода игра, когда элементы чистой стратегии известны. В подобной игре, если стратегия, определяющая действия участников во всех мыслимых ситуациях, сообщена арбитру до начала игры, то он может тут же объявить победителя. Иначе говоря, чистая стратегия предусматривает действия участников в ходе всей игры.
Элемент случайности в чистой стратегии, понятно, исключается. При учете случайности исход игры не зависит уже только от выбора стратегии, а вся теория становится как бы зыбкой. Однако если матрица основана на ожидаемых выигрышах, может быть использован вероятностный подход, когда при выборе стратегии применяется рандомизация. Смешанная стратегия фактически приводит к утаиванию информации и усиливает аспекты секретности в игре 276. Кроме того, правильно выбранная смешанная стратегия способна показать все свойства теоремы о минимаксе - максимине. Если оба игрока рандомизируют свои стратегии, наименьший ожидаемый конечный выигрыш может быть максимизирован. В этом случае налицо унифицированная теория, по крайней мере для игры двух лиц с нулевой суммой, и цена игры может быть определена как окончательно согласованная полезность 277.
Теория игр рассматривает далее некооперативные игры с ненулевой суммой, а также коалиции и кооперирование. Первый тип игры был проиллюстрирован с помощью "дилеммы заключенных", при которой двое заключенных, которые содержатся порознь, пытаются решить, стоит признаваться или нет 278. То, что справедливо для игры с нулевой суммой, здесь не подходит, поскольку кажущийся большим выигрыш может оказаться неприемлемым для одного из игроков. Характер стратегических действий со временем будет раскрыт путем повторения ходов. Если один из игроков стремится к быстрому выигрышу, другой игрок может поставить его в затруднительное положение. Предварительное обсуждение игры ее участниками допустимо, конечно, но в этом случае уже имеет место кооперативная игра. Этот тип игр начинает приближаться к экономическим ситуациям, какие имеют место, например, в трудовых отношениях или при олигополии. Теории игр не удалось, однако, полностью решить эти проблемы, несмотря на героические усилия таких авторов, как Мартин Шубик 279, но по крайней мере было показано то, что не всегда было ясно экономистам, а именно что максимизация не обязательно составляет смысл экономического существования. Не имея возможности управлять всеми переменными величинами, влияющими на размер выигрыша, игроки могут удовлетвориться более скромными результатами. Это определенно находится в остром противоречии с традиционной теорией, согласно которой предполагается, что экономические единицы осуществляют полный контроль над всеми факторами, влияющими на сделки. Если отбросить это предположение, то окажется, что действительность не так проста, как полагает теория.
В кооперативной игре, например, один из участников может произвести побочные платежи другому участнику в качестве одной из составных частей стратегии. (Примером может служить недавняя авантюра с установлением цен в электротехнической промышленности США.) В этих условиях частью правил игры являются предыгровой контакт, наличие обязательств и знание функций полезности. Следовательно, чтобы занять оптимальную позицию, экономические единицы то заключают коалиции то выходят из них. Хотя Шубик и не всегда порывает с традиционной теорией, достоинством его анализа является попытка привлечь такие переменные величины, как структура активов фирмы, необходимость сохранить или увеличить их, свобода доступа в отрасль, а также доступность информации. Анализ с помощью теории игр способен показать, что в олигополии или двусторонней монополии цены могут колебаться более резко, чем это допускает традиционная доктрина, в связи со скидками и премиями 280. В силу этого переговоры, затрагивающие все аспекты сделок, становятся составным элементом теории. Задача состоит в принятии решения, "отвечающего теории игр", безотносительно к соображениям справедливости. (Такова главная цель большинства арбитров и посредников 281.) Таким образом, одним из больших достижений теории игр является выработка подхода к точному анализу условий создания коалиций, что представляет собой важный вклад в экономическую и социальную науки. В то время как в традиционном анализе лишь констатируется существование экономических коалиций, а не исследуется то, как они создаются, теория игр пытается в точной математической форме показать, как происходит объединение, рассматривая тем самым реальные события более пристально по сравнению с прежними экономическими теориями. Как показали Нейман и Моргенштерн, решающие сделки на рынке могут иметь место не между атомистическими единицами, а между коалициями 282. Та роль, которую в современной экономике играют профсоюзы, олигополии и политические организации, подчеркивает важность теории, которая в состоянии описать поведение этих групп.
Коалиция представляется возможной даже в игре двух лиц, при условии что общий выигрыш для обоих участников есть переменная величина. В этом случае игроки могут договориться об общей стратегии в целях увеличения выигрыша. Однако никакая коалиция невозможна, если общий выигрыш постоянен. В игре с тремя и более участниками коалиции возможны даже при постоянной сумме выигрыша. В такой игре может возникнуть весьма сложная ситуация, поскольку участники могут действовать или самостоятельно, или же как члены трех (в игре с тремя участниками) возможных коалиций из двух игроков. Но каков бы ни был окончательный исход, он будет отражать определенные общественные и психологические нормы, а поскольку дело обстоит так, постольку это указывает на степень соответствия понятий теории игр социальной структуре 283. Именно это положение определяет понятие стабильности в игре, так как при существовании нескольких возможных способов распределения выигрыша "решение" достигается тогда, когда не отдается предпочтение ни одному способу, то есть когда возникает набор способов распределения, ни один из которых не доминирует над другими 284. Однако любой способ распределения должен основываться на социально приемлемых нормах, так как если он не отвечает требуемым нормам, то вскоре от него откажутся. В этом смысле анализ Неймана - Моргенштерна имеет под собой прочную основу.
Несмотря на значительную исследовательскую работу, проделанную с того момента, когда теория игр была признана в качестве полезного инструмента социального и экономического анализа, ее ни в коей мере нельзя считать законченной. Помимо игры двух лиц с нулевой суммой и различных вариантов решений и моделей, предложенных для игр с тремя и более участниками, существуют задачи, связанные с такими ситуациями, когда правила игры определены недостаточно четко, а также динамические игры 285. При неполных правилах и в играх против "природы" возникает еще больше неопределенности, чем в описанных играх, ибо здесь приходится выбирать стратегию игры против неизвестного противника, имеющего свою неизвестную стратегию. В определенном смысле эта задача сходна с понятием потенциальной неожиданности, выдвинутым Шэклом 286, или с проблемой, с которой сталкивается фермер при приближении сева. В этом случае максимальная стратегия может оказаться совершенно непригодной, поскольку при рассмотрении возможностей, отличных от тех, которые соответствуют умеренному требованию равновесия, можно достичь значительно большего выигрыша. Следует определить соответствующие вероятности для стратегии "природы" и выбрать ту, которая обеспечит наибольший выигрыш. Однако если вероятности "природы" становятся известными в результате накопленного опыта, как это часто случается, выбор стратегии может и не представлять труда 287. Тем не менее остается проделать значительную работу.
Несмотря на то что теория игр, бесспорно, обогатила систему экономических понятий, ей не удалось избежать критики. Некоторые авторы выражали свое несогласие с ее в значительной мере статической структурой, а другие утверждали, что в ней недостаточно внимания уделено обязательствам, которые отражали бы взаимозависимость или обоюдные уступки 288. Третьи отвергали философию чрезвычайной осторожности, подразумеваемой минимаксной теоремой, утверждая, что вероятность больших потерь способна привести к столь же рациональной форме приспособления, как и поведение, описанное Нейманом и Моргенштерном 289. Но ведь процесс выработки соглашений и обязательств может рассматриваться как новый тип игр. Такого рода маневрирование вполне может стать предметом теории игр 290. На возражения критиков о том, есть ли смысл "играть на нуль", если можно что-то выиграть, то есть стоит ли играть вообще, последовал ответ, что многие играют против желания. Справедливо, однако, что теория игр призвана более точно истолковать те связи, которые сами по себе изменяют условия игры, а это уже динамическая проблема. С технической точки зрения наиболее слабым местом теории игр является, по-видимому, ее основная предпосылка о том, что может быть составлена шкала полезностей. Как ничто другое, это дает основание взять под сомнение применимость логики теории игр к анализу человеческих противоречий. Но еще более существен исключительный формализм теории" игр, способный сделать ее бесплодной. Существует опасение, что она выродится в математические манипуляции. Теоретики пока еще не сумели придать анализу с использованием этой теории более широкий смысл. Противоречия, как убедительно показал Люис Коузер, на деле выполняют определенные социальные функции, например как средство разрядки напряженности или при определенных условиях даже в качестве связующего элемента в группах. Структурно противоречия должны рассматриваться под углом зрения существующих отношений как внутри групп, так и между ними. Таким образом, важное положение, выдвинутое Коузером, подчеркивает влияние противоречий на структуру группы, а также и на неизбежно возникающие внутренние реакции 291. Однако до сих пор теория игр рассматривала противоречия лишь под углом зрения выигрыша, и она не способна была объяснить движущие глубинные силы, ведущие к возникновению противоречий, образованию коалиций или маневрированию. Ясно, что это и есть та область, в которой для экономиста открываются возможности сотрудничества с представителями других дисциплин. Не может, однако, быть сомнений в том, что теория игр была и останется полезной; ее развитие привлекло внимание всех ученых в области общественных наук, и если некоторые ситуации не вполне поддаются исследованию существующими методами анализа, то должны быть найдены новые, как и предполагали основатели теории игр. Любопытно, смогут ли эти новые методы с большей эффективностью, чем в настоящее время, использовать институциональные факторы.
Яркой иллюстрацией энтузиазма, с которым некоторые экономисты взялись за новые методы исследований, может служить быстрое распространение линейного, или, точнее, математического, программирования и его потомка по прямой линии - исследования операций. Это, по-видимому, является отражением крушения прежних экономических теорий, не способных дать вычислительные методы. Настоятельно необходимо было что-то предпринять, и когда было установлено, что некоторые практические задачи могут быть решены методами линейного программирования, ему было обеспечено место в экономической науке 292. Весьма любопытно, что большинство работавших в этой узко специализированной области были инженерами, математиками и статистиками, а экономисты лишь ставили вопросы 293. Это были действительно важные вопросы, поскольку они касались альтернативных решений в области производства, издержек, в транспортных и тому подобных проблемах. Однако большинство экономистов проявило равнодушие и скептически отнеслось к преимуществам метода программирования. Приверженцы же новых методов сожалели по поводу отсутствия интереса у своих коллег, утверждая, что точное и конкретное применение теоретических понятий, ставшее возможным благодаря программированию, должно привлечь внимание теоретиков-нематематиков 294. Даже если вычисления, вытекающие из метода программирования, иногда бьют мимо цели, его широкое использование оказывает существенное влияние на политику фирм и потому требует тщательного изучения.
Линейное программирование получило развитие главным образом в послевоенный период. Его методы и приемы казались достаточно-простыми, чтобы принести существенную пользу отдельным фирмам. Остается, однако, по-прежнему спорным вопрос, означает ли оно новый подход в экономической науке. Конкретная формулировка метода линейного программирования восходит к работе Дж. Б. Данцига, выполненной по заказу ВВС США во время войны, когда возникла проблема координации действий одной большой организации в таких вопросах, как накопление запасов, производство и содержание оборудования и материальной части, причем имелись альтернативы и ограничения 295. Однако корни проблемы можно обнаружить в работах, относящихся к началу 30-х годов текущего столетия, когда Ганс Нейссер и Генрих фон Штаккельберг исследовали некоторые свойства Вальрасовой системы. Аналогичные проблемы изучались также советским математиком Л. В. Канторовичем, чья работа по вопросам производственного планирования, написанная в 1939 г., недавно была заново открыта 296. Канторович стремился дать метод, позволяющий выбрать из нескольких возможных такой процесс производства, который обеспечивает максимизацию выпуска продукции, а это и есть классическая задача линейного программирования. Далее, в ответ на упреки, брошенные Мизесом и Хайеком в адрес социалистов разного толка, последние высказали идею, что система цен независимо от способа их образования может действовать в качестве критерия, позволяющего осуществлять рациональное распределение ресурсов в централизованной экономике. Это также может интерпретироваться как задача, линейного программирования. Для сторонников линейного программирования дополнительным стимулом явились работы в области анализа по схеме затраты, выпуск и теории игр 297.
Формальное решение задачи предполагает наличие математического аппарата, который дал бы возможность максимизировать линейную функцию нескольких переменных при определенных ограничениях. Большинство из рассмотренных до настоящего времени задач имело линейный характер, то есть предполагалось, что между затратами и выпуском продукции существует пропорциональность; это условие экономисты называют постоянной эффективностью затрат. Совсем недавно были сделаны попытки построить нелинейные модели, но необходимость найти числовые ответы для практических целей подчеркивает целесообразность линейных решений 298. Наиболее разительным, однако, является игнорирование при этом методе институциональных элементов. Метод превратился в чисто абстрактный анализ наиболее эффективного и выгодного распределения ресурсов на микроэкономическом уровне. Предполагается, таким образом, что он подходит для капиталистических фирм и социалистической экономики, то есть для любой организации, в которой процесс принятия решений централизован. По-видимому, институциональные факторы должны быть введены впоследствии 299. Необходимые вычисления не могут, конечно, быть выполнены с помощью карандаша и бумаги: даже для отдельной фирмы эту работу должны выполнять электронно-вычислительные машины, но для этого необходимо, чтобы основные свойства программирования стали всеобщим достоянием до того, как оно будет помещено в институциональную оболочку.
Линейное программирование имеет дело главным образом с извечной экономической проблемой - как максимизировать выпуск продукции или минимизировать издержки при использовании ограниченных ресурсов. Линейное программирование представляет собой математическую интерпретацию условий достижения максимума и минимума. Используемый математический аппарат заимствован из теории множеств и теории линейно-векторного пространства 300. В то время как прежний математический аппарат в экономике базировался на системах уравнений, линейное программирование использует системы неравенств. Разумеется, в экономических задачах числа не должны быть отрицательными. Кроме того, линейное программирование имеет дело не с производственной функцией, как она трактуется в большинстве учебников, а с конечным числом процессов и "способов" ("activities"). Если при прежнем подходе внимание сосредоточивалось на изучении зависимости между затратами 301 и выпуском продукции то программирование разбивает процесс производства на конкретные детальные операции. Поскольку задача формулируется в зависимости от наличия рабочей силы, конкретного оборудования и технологии, доступных фирме или предприятию, в центр исследования ставится "способ", то есть конкретный метод выполнения определенной задачи 302. При введении линейных ограничений имеющиеся ресурсы рассматриваются не как бесконечный поток, а скорее как факторы, определяющие цель, которую фирма может реально достичь. Согласно утверждениям сторонников этого метода, производственная функция в ее традиционном понимании не может быть определена, пока не решена специфическая задача программирования для конкретной фирмы 303, Иначе говоря, область переменных величий ограничена: предметом анализа могут быть лишь компактные выпуклые множества. Линейное программирование, подобно предельному анализу, определяет цель фирмы под углом зрения зависимости между затратами и выпуском продукции, но при этом преследуется цель создать вычислительную базу для принятия решений о производстве товаров и операциях, для чего предполагается, что последние суть числа конечные, а в аналитических целях - что все они также и однородны 304.
Излюбленным в литературе является пример с автомобильной компанией, пытающейся определить для сборочных заводов объем выпуска легковых и грузовых автомобилей при заданных пределах производительности ее цехов штамповки и производства двигателей. Другими типичными примерами служат составление самого дешевого набора продуктов, содержащего заданное число питательных элементов (эта задача была решена в 1945 г. Джорджем Стиглером без помощи линейного программирования) 305, и производство бензина на нефтеперегонном заводе. Решению методом программирования поддаются также задачи транспортировки стандартизированных товаров с нескольких складов в различные пункты назначения или отправка бумаги с разных заводов различным получателям. Как развитие упомянутых задач, методами линейного программирования исследовались международная торговля и ее относительные преимущества 306. Очевидно, линейное программирование может быть использовано при рассмотрении специальных производственных проблем. На автомобильном заводе, например, задача заключалась в определении такой комбинации выпуска легковых и грузовых автомобилей (при ограничениях, налагаемых мощностью различных цехов), которая максимизировала бы чистый доход. Графически решение может быть представлено следующим образом. Если на оси Х отложить выпуск грузовых, а на оси У - выпуск легковых автомобилей, то перпендикуляры к этим осям обозначат максимальный выпуск каждого типа автомобилей. Затем на график накладываются линии, показывающие максимальные мощности штамповочных цехов и цехов, производящих двигатели. На таком графике отрезками линий, характеризующих максимальные мощности, будет очерчена область возможного производства. Математически такой график представляет собой выпуклую поверхность неотрицательных величин, характеризующих выпуск продукции 307, то есть такую совокупность точек, в которой линии, соединяющие любые две точки, входят в эту совокупность. Если нанести на график линии изоприбыли или чистого дохода, максимальная чистая прибыль будет определяться точкой в области возможного производства, находящейся на самой высокой линии изоприбыли, являющейся своего рода кривой безразличия. Граница выпуклой поверхности может быть названа кривой допустимого производства. Она представляет собой не плавную, а скорее ломаную линию, в вершинах углов которой находятся важные точки. Точка, максимизирующая прибыль, должна быть расположена в вершине угла области допустимого производства 308. Таким образом, главными в этом методе являются ограничительные условия. Точка максимального дохода не определяется, как обычно, касательной; в данном случае касание вообще маловероятно, поскольку точка максимального дохода находится в вершине угла области выпуклой поверхности, где линия цены, или кривая безразличия, снижается более круто, чем граница области допустимого производства влево от критической точки, и менее круто, чем эта граница вправо от критической точки.
Как указано выше, предпосылка о линейности равнозначна предпосылке о постоянной эффективности затрат, или строгой пропорциональности между затратами и выпуском продукции. При этом утверждали, что такое допущение подтверждается опытом и по меньшей мере может служить критерием для оценки соответствующей деятельности, или процесса 309. Другой важной аксиомой линейного программирования является то, что оптимальное решение может быть найдено в том случае, если число неравенств с положительными величинами не превышает число ограничений. Иначе говоря, возможная оптимальная программа может быть определена, если число процессов, находящихся на ненулевом уровне, равно числу ограничений. Далее, процессы, включенные в программу, должны быть более выгодными, чем исключенные из программы процессы. Эти положения указали на возможность применения метода последовательных приближений, или итерации, как в симплекс-методе, предложенном Данцигом; они имели важное значение при разработке некоторых методов решения 310. Симплекс - это простейший выпуклый многогранник данного числа измерений: метод заключается в итеративном рассмотрении точек, соседних с вершиной угла излома линии. Метод использует последовательный анализ предполагаемой совокупности допустимых процессов путем введения небольших изменений в целях достижения возможно меньшего числа процессов, характеризующихся положительной величиной. Каждый такой шаг требует пересчета, а окончательная точка достигается тогда, когда уже невозможен ни один "оправданный" процесс 311. Объем подобных вычислений поистине огромен и, как заметил Данциг, он потребует больших электронно-вычислительных машин 312.
В линейном программировании каждой задаче нахождения максимума соответствует "двойственная" задача нахождения минимума. Максимальное производство должно осуществляться при минимальных издержках, что требует количественной оценки производимых затрат. "Двойственный" характер задачи определяет в известном смысле размер необходимых затрат. Максимизируемая переменная, скажем прибыль, подвержена ряду ограничений, ей соответствуют переменные, характеризующие минимальные издержки, причем требуется распределение всех ресурсов. Следовательно, в линейном программировании использование ресурсов является одним из аспектов проблемы ценообразования и решение одной задачи является в то же время и решением другой 313. Технически если задача программирования решена, эта "двойственность" превращается в систему линейных уравнений. По словам Купманса, каждый оптимальный процесс имеет по крайней мере одну систему цен, совместимую с соответствующей технологией314. "Двойственность" указывает "вмененные цены, минимизирующие совокупную вмененную стоимость доступных первичных товаров... при том ограничении, что ни один из технологических процессов не будет выгодным" 315.
По существу, линейное программирование реабилитировало теорию экономического равновесия в условиях конкуренции. Очевидно далее, что оно стало полезным орудием в управлении предприятиями, например, в нефтяной промышленности, что же касается экономической теории, программирование не внесло, пожалуй, ничего нового, если не считать уяснения общих представлений. Тот, кто утверждает, что метод программирования есть аналог экономики в целом, совершает ошибку перенесения на целое свойств его части. По-видимому, теоретики забыли об ограничениях, налагаемых общественными институтами, и до настоящего времени развитие нелинейного программирования не привело к выработке теорем, которые были бы полезны для руководства всей экономикой. Для политической экономии теоретические выводы пока непригодны.
Иллюстрацией этого недостатка теории может служить применение линейного программирования в экономической теории благосостояния 316. Использование этого метода в данном 6случае определенно основано на том, что понятие эффективности играет главную роль как в теории благосостояния, так и в математическом программировании. Решения методом математического программирования дают точки эффективности, так что соответствующие им конкурентные цены на товары и факторы производства действительно окажутся эффективными 317. Это указывает на связь между теорией конкуренции и линейным программированием. Программирование является лишь совокупностью вычислительных приемов для определения точек эффективности; такова же и цель свободного рынка318. Более того, утверждают, что при использовании метода программирования нет необходимости проводить различие между отдельными фирмами, поскольку при условии постоянных издержек для каждой фирмы задача остается действительной для экономики в целом. Однако, как и в прежней теории, это положение нереально и также уязвимо. С появлением динамических элементов и факторов монополий возникли новые проблемы и сомнения. Использование линейного программирования сопровождалось большим числом оговорок. Достаточно указать на один пример: процессы, на которые оказывала влияние убывающая эффективность, описывались совершенно неудовлетворительно. Возрастающая эффективность также может свести на нет линейное решение, если оно рекомендует процесс менее интенсивный, чем того желали 319.
Что касается существа экономической теории, то при тщательном рассмотрении в линейном программировании трудно найти что-либо принципиально новое. Его теоремы дали новые, более изящные доказательства положений общепризнанной экономической теории, однако, как заметил Баумоль, изменения касались не существа, а методологии 320. Более того, первоначально упор был сделан на разработку рекомендаций, облегчающих поиски новых решений. Лишь когда вся экономика рассматривается как одна фирма, как в условиях социалистической системы, линейное программирование действительно создает большие возможности для достижения социального равновесия между производством, технологией и ценами. Но в этом случае метод линейного программирования должен быть в значительной степени усовершенствован по сравнению с настоящим уровнем, чтобы соответствовать бесконечно усложняющимся условиям в обществе 321.
ПРИМЕЧАНИЯ:
255 См. Lewis A. Cose r. The Functions of Social Conflict, New York, 1956, pp. 16ff.
256 См. характеристики проблем, связанных с запасами в винодельческой промышленности, в работе: John McDonald, Strategy in Poker, Business and War, New York, 1950, pp. 95ff.
257 См. Coser, op. cit., p. 31.
258 Хорошее описание истории вопроса содержится в работе: A.Rapoport, Fights, Games and Debates, Ann Arbor, 1960, pp. lllff; см. также Р. Л ь ю с и X. Р а и ф а. Игры и решения, стр. 37 и след.; R. D. Theocharis, Early Developments in Mathematical Economics, London, 1961, pp. 15ff.
259 John von Neumann and Oskar Mor-genstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944.
260 Р. Л ь ю с и X. Р а и ф а, Игры и решения, стр. 21.
261 Morgenstern, The Limits of Economics, London, 1937.
262 M о г g e n s t e r n, On the Accuracy of Economic Observations, Princeton, 1950.
263 См. "Operations Research and Systems Engineering", C. D. Flagle, W. H. Huggins and R. N. Roy, eds, Baltimore, 1960, passim; см. также T. C.Schelling, The Strategy of Conflict, Cambridge, 1960.
264 Р. Л ь ю с и X. Р а йф а, Игры и решения, стр. 21.
265 цт. по книге: Dorfman, Samuelson and S о 1 о w, op. cit., p. 417.
266 "The Theory of Games", International Economic Papers, N 1, London, 1957, p. 37.
267 "The Theory of Economic Behavior", American Economic Review, 1945, pp. 909ff.
268 См. Р.Льюс и Х.Райфа, указ. соч., где содержится подробная библиография.
269 См. Dorfman, Samuelson and Solo w, op. cit., pp. 428ff и 465ff.
270 Ibid., p. 468.
271 См. R а р о р о r t op. cit., pp. 124H.
272 P. Л ь ю с и Х.Райфа, указ. соч., стр. 42.
273 Хорошее изложение этого аспекта дискуссии может быть найдено в работе: H. M. Wagner, Advances in Game Theory, American Economic Review, June, 1958, pp. 377ff.
274 Р. Л ь ю с и X. Р а и ф а, указ. соч., стр. 87.
275 Neumann and Morgenstern, op. cit., pp. 93ff.
276 Ibid., pp. 146П; см. также Р. Л ь ю с и X. Р а й-ф а, указ. соч., стр. 109 и след.
277 См. W a g n e r, op. cit., р. 379.
278 См. R а р о р о r t, op. cit., p. 173.
279 См. его работу "Strategy and Market Structure", New York, 1959.
280 См. Ibid., pp. 107П.
281 См. 0. Morgenstern, Oligopoly, Monopolistic Competition and the Theory of Games, American Economic Association Proceedings, May, 1958, pp. lOff. См. также мою статью "Games Theory and Collective Bargaining", Labour and Nation, January-March, 1952, pp. 50ff.
282 Neumann and M о r g e n s t e rn, op. cit., pp. 220ff.
283 Ibid., pp. 43ff.
284 См. Morgenstern, American Economic Association Proceedings, op. cit., p. 15.
285 M. S h u b i k, Game Theory as an Approach to the Firm, American Economic Association Proceedings, May, 1960, p. 557.
286 См. выше, стр. 347.
287 См. E. G. Bennion, Elementary Mathematics of Linear Programming and Game Theory, East Lansing, 1960, p. 135.
288 S с h e 11 i n g, op. cit., pp. 83ff.
289 См. E 11 s b e r g, The Reluctant Duelist, American Economic Review, December, 1956, pp. 909ff. Агрессивный дуэлянт Эллсберга есть не что иное, как предприниматель Шэкла. Однако Райфа в еще не опубликованных исследованиях указывает, что в рискованных мероприятиях обычным является стремление к скромным, но надежным результатам,
290 См. Rapoport, op. cit.,ip. 229.
291 С о s e r, op. cit., p. 95.
292 По линейному программированию имеется довольно' большая литература. Образцовой работой для экономистов является книга Дорфмана, Самуэльсона и Солоу, пит. соч. Основной книгой считается: Activity Analysis of Production and Allocation, T. C. K-oopmans, ed.. New York, 1951. Математический аппарат в некоторых разделах этих двух книг весьма сложен. Хорошим введением в математиче--ский аппарат является работа: Д ж. К е м е н и, Дж. Сне л л и Дж. Томпсон, Введение в конечную математику. Более сложна книга С. К а р л и н, Математические методы в теории игр, программировании и экономике, М., "Мир", 1964. Полезны рабо--ты Бенииона, пит. соч., а также: К. Е. В о u 1 d i n g, W. A. Spivey et al., Linear Programming: and the Theory of the Firm. Более краткое изложение вопроса дают следующие работы: Р. А л л е н, Математическая экономия; R. Dorfman, Mathe' matical or "Linear" Programming, AER, December-1953, pp. 797ff; idem, Operations Research, AER, September, 1960, pp. 575ff; W. J. Baumol, Activity Analysis in One Lesson, A ER, December, 1958, pp. 837ff. Хорошее описание содержится также в работе: Т. С. К о о р m a n s, Three Essays on the State of Economic Science, New York, 1957,
293 Dorfman, Operations Research, op. cit., p. 577; Samuelson, Linear Programming and Economic Theory, RAND Corp., May 25, 1955, p. 5.
294 Ibid., p. 6.
295 См. М. К. W о о d and G. В. D a n t z i g, The Programming of Independent Activites, в "Activity Analysis...", pp. 15ff.
296 См. выше, стр. 283.
297 К о о р m a n s, op. cit., p. 1.
298 См. D о r fm a n et al., op. cit., Chap. 8, pp. 186ffr Описание нелинейного программирования см.: У. Б а у м о л ь, Экономическая теория и исследование операций, М., "Прогресс", 1965, стр. 111 и след.
299 К о о р m a n s, Three Essays..., p. 71.
300 Краткое изложение используемых при этом математических методов может быть найдено в работе: Boulding and Spivey, op. cit., Chap. 2, pp. 18ff. а также в работах, указанных в примечании 292.
301D о r fm a n et al., op. cit., pp. 131, 201.
302 Dorfman, American Economic Review, December" 1953, p. 798.
303D о r fm a n et al., op. cit., p. 202.
304 Это допущение необходимо для обеспечения свойства' аддитивности. См. Koopmans, Three Essays...,. р. 72.
305 См. его работу "The Cost of Subsistence", Journal of Farm Economics, May, 1945, pp. 304ff.
306 См. P. A. Samuelson, Spatial Price Equilibrium and Linear Programming, A ER, June, 1952, pp. 283ff.
307 К о о p m a n s, Three Essays..., p. 81.
308 См. D о г f m a n, American Economic Review, December, 1953, pp. 799ff; Dorfman et al., op. cit., p. 133.
309 D о г fm a n et al., op. cit., p. 162.
310 См. работу Данцига в "Activity Analysis...", pp. 29ff; 59ff. См. также D orfm an et al., op. cit., pp. 64ff.
311 D о г fm a n et al., op. cit., pp. 67ff.
312 D a n t z i g, op. cit., p. 30.
313 Dorfman et al., op. cit., pp. 39ff.
314 К о о p m a n s, Three Essays..., p. 88.
315 Ibid., p. 98.
316 См. Ibid., p. 390ff.
317 Ibid., p. 404.
318 Удачное сравнение с методикой предельного анализа дано в работе: Boulding and S p i v e у, op. cit., Chap. 4, pp. 94ff.
319 У. Б а у M о л ь, Экономическая теория и исследование операций, стр. 136-139.
320 В a u m ol, American Economic Review, December, 1957, p. 872.
321 Открытая матрица Леонтьева, которая открывает пути для руководства производственным процессом, если заданы определенные цели, допускает применение линейной методики. См. D о r f m a n et al., op. cit., pp. 281ff. 38* 587
Как найти и купить книги
Возможность изучить дистанционно 9 языков

 Copyright © 2002-2005 Институт "Экономическая школа".
Rambler's Top100