economicus.ru
 Economicus.Ru » Галерея экономистов » Теории экономического роста

Теории экономического роста

Economic growth theory
 
Источник: Современная экономическая мысль. Серия: "Экономическая мысль Запада". / Ред.: Афанасьева В.С. и Энтова Р.М./ - М., "Прогресс", 1981.
Неоклассические модели роста
Карл Шелл
Еще представители классической политической экономии, включая А. Смита, считали центральной темой своих исследований экономическую динамику, "межвременные" хозяйственные сопоставления (intertemporal economics); впоследствии Ирвинг Фишер, Джон Мейнард Кейнс и многие представители современной экономической теории продолжали уделять огромное внимание этим вопросам. Чтобы понять, как отдельные индивидуумы и общество в целом делают выбор между текущим и будущим потреблением, межвременной экономический анализ разрабатывает такие "классические" темы, как сбережения, инвестиции и накопление богатства.
В начале 50-х годов в центре экономической теории стояли главным образом вопросы общего равновесия. То был период триумфа достижений Эрроу, Дебре, Маккензи.1 Модель общего равновесия, по определению, обладает микроэкономической структурой, причем в своем первоначальном виде она была по большей части "единовременной" (intratemporal). Впрочем, хотя в теории тех лет были еще слабо выражены специфические черты межвременного выбора технологий и рынков, подобные трактовки все же позволяли учитывать "товары, относящиеся к тому или иному моменту времени". Начало 50-х годов было отмечено также повышенным интересом к проблемам экономического роста со стороны политических деятелей, Этот интерес определялся двумя взаимосвязанными факторами: во-первых, общей обстановкой "холодной" войны и осознанием роли экономического соревнования между СССР и США; во-вторых, повсеместно возросшим вниманием к менее развитым в экономическом отношении странам.
Час возрождения интеллектуального интереса к процессу экономического развития пробил в середине 50-х годов. В 1956 г. "The Quarterly Journal of Economics" опубликовал статью Роберта М. Солоу "К вопросу о теории экономического роста" ("A Contribution to the Theory of Economy Growth"). Свой анализ Солоу выдержал в традициях макроэкономической теории, иначе говоря, его анализ отличался высокой степенью агрегированности. В статье фигурировали четыре основные экономические величины: потребление, инвестиции, капитал и труд. Прямое и косвенное влияние идей предшественников (прежде всего таких экономистов, как Кнут Викселль, Франк П. Рамсей, Рой Харрод, Евсей Домар и Джеймс Тобин) в работе Солоу более чем очевидно, поэтому нет ничего странного в том, что ряд изложенных им положений был независимо развит и опубликован в том же году Тревором У. Суэном.2
Тем не менее исходной точкой отсчета для периода углубленной разработки теории, которую впоследствии окрестили "неоклассической теорией экономического роста", послужила именно публикация статьи Солоу в 1956 г. И дело тут не только в том, что взгляды Солоу отличались достаточной простотой и четкостью, обеспечивавшими им широкое распространение, но и в том, что его работа уже тогда содержала в зародыше многие важные теоретические усовершенствования, которые получили известность в последующий период.
Односекторная технология (the One-Sector Technology)
Начнем изложение теории с очень простого и частного вопроса - рассмотрения односекторной технологии; такой анализ удобен тем, что дает возможность на элементарном примере раскрыть содержание некоторых основных понятий. После такого введения нетрудно будет перейти к обобщениям и усложнению модели.
Итак, предполагается, что в момент t производится поток однородной продукции, Y(t) ; при этом имеет место взаимодействие двух факторов - используемого в данный момент парка машин (или капитала), К(t) , и занятой на тот же момент рабочей силы, L(t). Будем полагать, что технологически эффективная комбинация "затраты - выпуск" описывается производственной функцией F(·), так что Y(t) = F( К(t), L (t), t). Чтобы еще более упростить рассматриваемый пример, исключим технологические изменения, т. е. положим ∂F/∂t ≡ 0, тогда указанное соотношение межу затратами и выпуском может быть переписано в следующем виде:
Y (t) = F ( К(t), L(t)).
Что же представляет собой однородный продукт Y? На этот вопрос часто дают такой ответ: однородным называется продукт, который может быть с одинаковым успехом использован как для потребления, так и для инвестирования. В частности, если С(t) представляет собой потребление в момент t, a Z(t) - инвестиции в момент t, то можно записать следующее неравенство: С(t)+Z(t) ≤ Y(t) . В такой трактовке Y иногда представляется в виде какого-то придуманного товара, нечто вроде "пузанчиков" (shmoos) - героев карикатур комиксов Эла Каппа. В действительности Y служит в наших рассуждениях лишь "вспомогательной переменной" и при анализе односекторной технологии ее можно легко опустить. Технологические возможности могут быть описаны рядом различных сочетаний выпусков и затрат, осуществимых в пределах данной технологии, Т; последнюю будем задавать следующим выражением:
Т = {(С, Z, К, L) : С ≥ О, Z ≥ 0, К ≥ О, L ≥ О, С+Z ≤ F(К, L)}.
Зависимость технологии от времени здесь (а также в последующем изложении) в явном виде не указывается. Приведенное выше выражение следует читать таким образом: осуществимый производственный план представляет собой сочетание неотрицательных выпусков и затрат, (С, Z, К, L) ≥ 0, удовлетворяющих следующему соотношению, складывающемуся в производстве: С + Z ≤ F (К, L). Следовательно, если предположить, что затраты К и L фиксированы, потребительские и инвестиционные товары могут замещать друг друга при движении вдоль технологически эффективной границы производственных возможностей.
Рассмотрим рис. 1, на котором отрезок прямой, очерченный жирной линией, обозначает границу производственных возможностей, или PPF (production possibility frontier). Важной характеристикой модели служит постоянное равенство между ценой предложения потребления и ценой предложения инвестиций (на нашем рисунке отрезок прямой PPF на всем своем протяжении имеет наклон, равный -1). Если же такое равенство рыночных цен (а при иных предположениях цен "общественного спроса"- social demand prices) на потребление и инвестиции не соблюдается, то структура выпуска продукции будет полностью определяться товаром, имеющим более высокую цену.


                       Рис.1


Рассмотрение этого, как нетрудно убедиться, очень частного случая технологии лежит в основе многих макроэкономических моделей, в том числе в основе интерпретации Джоном Р. Хиксом "кейнсианской системы"- интерпретации, использующей кривые IS - LM.3 Нужно отметить, что решающей чертой рассматриваемой модели служит не то обстоятельство, что абсолютная величина наклона PPF равна единице, а то, что угол наклона остается постоянным. И в тех случаях, когда угол наклона равен любой другой постоянной величине, простейшая замена переменных позволяет вернуться в аналогичный "односекторный мир".
Предположение о неизменной эффективности при изменении масштабов производства определяет следующее обстоятельство: производственная функция является положительно однородной первой степени относительно своих аргументов; другими словами, для каждой положительной скалярной величины Θ при Y = F (К, L) будет соблюдаться равенство ΘУ = F (ΘK, ΘL). Например, удвоение каждого вида затрат при сохранении прежней эффективности технологии обеспечивает увеличение размеров выпуска в два раза. Отсюда напрашивается обобщение, позволяющее распространить наш анализ также на случай уменьшающейся эффективности расширения масштабов производства. Это всегда можно сделать, введя условные переменные, характеризующие некие дополнительные факторы производства ("предпринимательская деятельность"?), или приняв во внимание существование реальных факторов производства, запас которых ограничен (например, природные ресурсы).4 При уменьшающейся эффективности могут отсутствовать равновесные состояния системы, а в тех случаях, когда они существуют, их изучение может не представлять особого интереса. Но отсутствие равновесных состояний не должно здесь служить помехой серьезному анализу. Гораздо более трудные проблемы возникают в тех случаях, когда предполагается возрастающая эффективность при изменении масштабов производства. Анализ оптимальных планов централизованного развития в случаях растущей эффективности производства оказывается намного сложней, но это вовсе не означает, что подобный анализ вообще невозможен. Особенно важно отметить в связи с этим, что при постоянно растущей эффективности по мepe увеличения масштабов производства конкуренция, как правило, перестает быть определяющим фактором хозяйственного развития, вследствие чего в большинстве случаев приходится отказываться от предпосылки, предполагающей функционирование рыночной структуры - структуры, которая больше других понятна экономистам.
Прибегнем к следующей замене переменных: Θ = 1/L; тогда в силу предположения о том, что эффективность при изменении масштабов производства остается неизменной, можно записать: Y/L == F (K/L, L/L). Обозначим теми же прописными буквами средний размер рассматриваемых величин в расчете на одного занятого, например У = Y/L. Перепишем теперь приведенное выше выражение следующим образом:
y=F(k,1)=f(k).
Продукция на одного занятого является функцией капиталовооруженности, и только капиталовооруженности труда, что отражает глубинные соотношения, складывающиеся в тех случаях, когда при изменении масштабов производства эффективность остается неизменной.
Непрерывная производственная функция
Когда производственная функция непрерывна и дифференцируема, можно выразить предельные продукты через соответствующие производные. Тогда предельный продукт капитала характеризуется величиной ∂Y/∂К = f'(k). Предельный продукт труда равен ∂Y/∂L = f(k) - kf'(k). К этому и сводится основная теорема в теории двойственности (duality theory); в соответствии с этой теоремой в условиях экономики, не ставящей своей целью извлечение прибыли, величины предельных продуктов характеризуют степень редкости соответствующего фактора с общественной точки зрения. Известно также, что в условиях конкурентной (максимизирующей прибыль) экономики при отсутствии внешних эффектов (externalities) владельцы факторов производства вознаграждаются в соответствии с величиной предельных продуктов этих факторов, следовательно,
r = f'(k) и w = f(k) - kf'(k),
где r и w представляют собой соответственно конкурентную норму ренты и конкурентную величину заработной платы, выраженные в единицах продукта. Более того, r и w оказываются при этом оптимальными "теневыми" ставками ренты и заработной платы. Взаимозависимость капиталовооруженности и вознаграждения владельцев факторов может быть охарактеризована с помощью кривых, приведенных на рис. 2. Здесь показан случай уменьшающейся эффективности при расширении масштабов производства, вторая производная f''(k) отрицательна на протяжении всего рассматриваемого интервала. Касательная к кривой, которая характеризует производственную функцию, выраженную показателем производительности труда (другими словами, производственную функцию, рассчитываемую как объем выпускаемой продукции на одного занятого, f(k)) образует положительный угол α с осью абсцисс. Тангенс угла α равен f(k)/(k+w) = f'(k). Отрезок w также равен соотношению между заработной платой и рентой, поскольку w/r = (f(k) - kf'(k))/f'(k).
Существование таких производных не может считаться обязательным условием для определения цен на факторы производства. На рис. 2б при 0 < k < k* предельный продукт капитала равен α1, вследствие того что касательная к кривой производственной функции проходит через начало координат, предельный продукт труда оказывается равным нулю. При k > k*, МРk = α2 и МРL = f(k) - α2k. Для k = k* предельные продукты определены, но такое определение неоднозначно,
α2 ≤ MPk ≤ α1 и МРL = f(k*) - k*MPk.


                  Рис.2


В случае гладкой, строго выпуклой вверх функции, вторая изображена на рис. 2а, где f''(k)<0, можно видеть, что между, что между k и w существует однозначная зависимость, причем dw/dk > 0.
Экономические законы динамики
Будем полагать, что темпы расширения численности рабочей силы остаются постоянными, иначе говоря %ΔL = n > 0, где n представляет собой естественный (так сказать, биологический) темп роста. В условиях когда время предполагается непрерывным, этот процесс может быть описан простым дифференциальным уравнением (dL/dt) = nL', если для обозначения дифференцирования по времени мы воспользуемся точками, это соотношение можно переписать следующим образом:
Инвестиции определяются как приращение запаса капитала; если абстрагироваться для простоты изложения от амортизации, то , где Z - чистые или полностью совпадающие с ними в нашем примере валовые инвестиции. Прирост капиталовооруженности, выраженный в процентах, совпадает с темпами увеличения капитала (за вычетом процента увеличения численности рабочей силы), или
Уравнение роста может быть также выведено на основе логарифмического дифференцирования тождества k = K/L оно может быть записано следующим образом:
где z = f(k) представляет собой среднюю величину инвестии, приходящуюся на одного занятого.
Равновесные состояния
На рис. 3 выпуск продукции в расчете на одного занятого, f(k), представлен в форме строго выпуклой функции. На этом же рисунке проведен луч nk. Предполагается, что значения производственной функции, которая выражена через объем производства, приходящийся на единицу труда, при небольшой (ненулевой) капиталовооруженности расположены выше, а при очень большой капиталовооруженности - ниже указанного луча. В силу того, что , при данной капиталовооруженности разница между кривой, описывающей производственную функцию, и лучом характеризует размеры "излишнего" продукта, пригодного для потребления или увеличения капиталовооруженности. Точка пересечения луча и кривой описывает максимально устойчивое соотношение между капиталом и трудом, . Для значений, отличных от , даже в условиях, когда весь продукт сберегается и инвестируется, средние инвестиции, рассчитываемые на одного занятого, будут меньше, чем это необходимо для поддержания постоянной капиталовооруженности при растущей численности населения.


                      Рис.3


Стационарное состояние (или путь сбалансированного роста) характеризуется траекторией, вдоль которой темпы увеличения капитала и труда оказываются одними и теми же, т. е. траекторией, для которой соблюдается условие , или = 0. Из рис. 3 можно видеть, что существует ряд возможных соотношений между капиталом и трудом, характеризующих устойчивое состояние при 0 ≤ k ≤ .
Золотые правила накопления
В чем же заключаются различия между этими устойчивыми состояниями? Напомним, что с = f(k) - nk -.
В устойчивых состояниях = 0, поэтому мы можем выразить стационарные размеры потребления в расчете на одного занятого при устойчивом состоянии сS как функцию от величины капитала, приходящегося на одного занятого:
сS(k) = f (k) - nk.
На рис. 4 приведен график кривой сS(k).


                     Рис.4


В исходной точке функция равна нулю; по мере увеличения капиталовооруженности она растет, достигая максимума в точке k*, а затем уменьшается и снова обращается в нуль в точке . Эти свойства можно проследить на рис. 3 или непосредственно вывести их, так как dcS/f(k)-n и d2cS/dk2 = f'(k) < 0. Следовательно, сS достигает максимума при отношении "капитал/труд", равном k*, когда предельный продукт капитала (или, как станет ясно позже, норма процента) оказывается равным "естественному" темпу роста населения. Величину k* чаще всего называют "золотым уровнем капиталовооруженности", определяемым "золотым правилом" накопления (Golden Rule, GR), которое было исследовано рядом экономистов; сошлемся, в частности, на работы Эдмунда С. Фелпса и Джоан Робинсон.5 Заметим, что, поскольку f(k*) = n, k*f'(k*) = nk* = z*. Это означает, что, если при соблюдении "золотого правила" накопления факторы вознаграждаются по их предельным продуктам (как это происходит в условиях конкурентной экономики), инвестиции в точности равны совокупному рентному доходу. (Конечно, такой характер потребление принимает лишь в мире, в котором "капиталисты все без остатка сберегают, а рабочие все без остатка потребляют".)
k* может считаться оптимальным соотношением между капиталом и трудом только в очень ограниченном смысле. При этом отношении, определяемом "золотым правилом", размеры потребления оказываются больше, чем при любом другом стационарном состоянии, но общество может не пожелать, чтобы экономика развивалась вдоль равновесной траектории, и, уж само собой разумеется, оно несвободно в выборе начального уровня капиталоемкости, k(0).
Принося в жертву текущее потребление ради расширения капитального запаса, общество в конечном счете стремится увеличить будущее потребление. Из рис. 3 и рис. 4 можно видеть, однако, что если отношение между капиталом и трудом раз и навсегда зафиксировано на уровне, превышающем k*, то общество произвело излишние сбережения, оно не использовало полностью свои возможности "изъятий из банка Природы". Допустим, что в некоторой точке некоторая небольшая единица капитала была бы ликвидирована (или, если это возможно, потреблена); в такой ситуации стало бы возможным движение экономики по параллельной траектории накопления, вдоль которой, начиная с указанного момента, потребление всякий раз оказывалось бы строго больше. В этом и состоит суть теоремы Фелпса - Купманса, которая утверждает, что если существует во времени точка t0 и положительная постоянная величина , такая, что k(t) > k* + для всех t ≥ t0, то программа {k(t)} неэффективна.
Случаи неэффективности, выявленные Фелпсом и Купмансом, обусловленные перенакоплением капитала, сохраняют силу только в моделях с бесконечным временным горизонтом. Если бы точно была известна дата конца света, то программа эффективного накопления предполагала бы постепенное исчерпание капитального запаса по мере приближения к "конечному моменту" времени.
Межвременная оптимальность
Анализ, основанный на использовании "золотого правила" накопления, полезен тем, что помогает распознавать перенакопление; вместе с тем нам предстоит еще рассмотреть критерий "межвременной оптимальности". Литература, посвященная проблемам оптимального роста, предлагает максимизировать следующее выражение:
где U характеризует полезность потребления (U'>О, U''≤0). Фрэнк П. Рамсей исследовал случай, когда ∂U/∂t ≡ 0. Дэвид Кэсс, Тьяллинг К. Купманс и ряд других экономистов дали более общую характеристику приведенного выше критерия, исследовав случаи, когда этот критерий предполагает постоянный дисконт (тогда ∂U/∂t = -ρU, где ρ ≥ 0 представляет собой постоянную "общественную норму" дисконтирования).6 Проблема роста, обеспечивающего оптимальные размеры потребления, сопряжена с учетом существующих ограничений в области технологии и размеров начальных вложений факторов производства. Между тем именно такие ограничения на начальные вложения капитала и труда вообще не фигурируют в наивной процедуре, предусматриваемой "золотым правилом". Решение задач Рамсея - Кэсса - Купманса требует вариационных расчетов и учета сопряженных технологий; подробное рассмотрение всех этих вопросов выходит за пределы данной главы, однако ниже мы еще упомянем о некоторых характерных особенностях решения подобных задач.
Экономический рост, описываемый некоторыми "поведенческими" функциями
До сих пор в центре нашего внимания находился эффективный и оптимальный с точки зрения потребления экономический рост. Между тем первоначальная цель Солоу заключалась в том, чтобы изучить особенности хозяйственного роста децентрализованной экономики, в которой выбор между потреблением и инвестициями определяется некоторыми агрегированными "поведенческими" соотношениями, в частности, он удовлетворяет, скажем, требованиям потребительской функции. В данной связи целесообразно рассмотреть в качестве примера процесс накопления в модели, в которой фигурирует государственный долг. Такой пример в значительной мере сводится к дальнейшему развитию Фелпсом и Шеллом основной модели Солоу (в которой государственный долг просто отсутствовал).7 Вслед заСолоу будем использовать простейший из возможных вариантов кейнсианской потребительской функции; иными словами, допустим, что потребление составляет фиксированную долю (1 - s) заранее известного дохода, складывающегося из соответствующей платы частным владельцам факторов производства, а также государственных трансфертных платежей (за вычетом налогов).
Прибегнем далее к весьма смелому предположению, согласно которому политика центрального банка способна удерживать экономику на траектории полной занятости при нулевой инфляции; в таком случае средние размеры частного спроса на потребительские товары в расчете на одного занятого будут составлять сD = (1 - s) [f(k) + Ф], где Ф характеризует величину чистых государственных трансфертных платежей в расчете на душу населения.
В случаях, когда государственные расходы равны нулю, Ф = ξ, где символ обозначает сумму дефицита государственного бюджета в расчете на душу населения,
сD = (1 - s) [f(k) + ξ].
Величина государственного долга в расчете на душу населения x, таким образом, подчиняется простому динамическом закону: =ξ-nx, поэтому в условиях сбалансированного роста х = ξ/n. Следовательно, размеры потребительского спроса в расчете на душу населения при стационарном состоянии экономики составляют
cD = (1 - s) [f(k) + nх].
Равновесие в условиях устойчивого состояния (=0=) определяется равенством величин сD и сS, или (1 - s)[f(k) + nх] = f(k) - nk, а последнее выражение может быть переписано следующим образом:
cD(y) = (1 - s) (y + nх) = y - nk(y) = cS(y),
поскольку капитал, приходящийся в среднем на одного занятого, может быть выражен как растущая функция выпуска продукции на одного рабочего.
Из рис. 5 можно видеть, как определяются стационарный выпуск продукции и стационарный уровень потребления в расчете на душу населения. Рассмотрим сначала описанный Солоу случай, когда государственный долг вообще отсутствует. Стационарное состояние экономики будет тогда определяться единственным пересечением кривой, характеризующей сS(y) с лучом (1-s)y. Единственная нетривиальная капиталовооруженность, которой обладает простая модель Солоу, следовательно, равна , а . Стационарное состояние, по Солоу. эффективно, если угол между лучом и осью абсцисс достаточно велик, иначе говоря, если .


                            Рис.5


Когда размеры государственного долга на душу населения остаются постоянными и равными некоторой положительной величине, возможно существование двух уровней выпуска продукции на душу населения,- уровней, соответствующих условиям стационарного состояния. Они показаны на рис. 5 (точки и ); эти точки определяются
пересечением кривой сS с линией cD, параллельной лучу Солоу и пересекающей вертикальную ось в точке, ордината которой принимает значение (1 - s) nх, С другой стороны если государственный бюджет сводится с превышением доходов над расходами и долговременный государственный долг в расчете на душу населения составляет отрицательную постоянную величину, размеры стационарного выпуска продукции на душу населения определены единственным образом. В этом случае величина стационарного объема производства, исчисленная на душу населения, y=, определяется единственным пересечением кривой сS и линии, опять-таки параллельной лучу Солоу, но пересекающей отрицательную полуось ординат в точке, равной (1 - s) nх < 0.
Сравнительная динамика
Ограничившись рассмотрением стационарных состояний, мы смогли выяснить некоторые существенные свойства модели Солоу (при х = 0), в частности, мы установили, что величины и положительны. В долговременном периоде усиление склонности к сбережению приводит к возрастанию объема производства на душу населения и к увеличению капиталовооруженности труда. Однако, будет ли больше или меньше нуля, определяется тем, окажется ли k меньше (или больше) той величины капиталовооруженности, k*, которая определяется "золотым правилом".
Какое же влияние оказывает на модель включение в нее государственного долга? Если мы находимся в режиме превышения бюджетных доходов над расходами, то никаких сложностей нет. Уменьшение размеров бюджетного излишка влечет за собой снижение капиталовооруженности и выпуска на душу населения, т. е. ∂k/∂х < О и ∂y/∂х < 0.
В ситуации бюджетного дефицита возникают более сложные проблемы. Для случая, характеризующегося "высокой" капиталовооруженностью, сохраняют силу результаты, которых можно было ожидать: ∂y/∂х < О и ∂k/∂х < 0. Если же мы рассмотрим направление воздействия на смещения сD вверх при низком уровне капиталовооруженности, мы столкнемся с "неожиданным" результатом: ∂y/∂х > 0 и ∂k/∂х > 0.
Этот пример показывает, что свойства модели, характерные для условий сравнительной статики, не всегда можно механически переносить на условия сравнительной динамики. Несмотря на то что рост бюджетного дефицита означает увеличение потребления за счет сбережений, успех государственных мер, направленных на устойчивое повышение капиталовооруженности с помощью налоговой политики, может привести к увеличению размеров государственного долга и требующегося при этом дефицита правительственного бюджета в расчете на душу населения.
Стабильность
Интерес к равновесным состояниям основан на предпосылке, согласно которой экономика со временем обнаруживает тенденцию закрепиться в них, если основныехозяйственные условия не претерпевают изменений. Например, изучая рис. 6, можно обнаружить, что в модели Солоу, где = z - nk = sf(k) - nk, равновесное соотношение между капиталом и трудом стабильно, поскольку вследствие строгой выпуклости функции f(·) при положительных значениях капиталовооруженности знак совпадает со знаком (k -). Поэтому равновесный уровень глобально устойчив, так как при любой нетривиальной первоначальной величине капиталовооруженности величина k в ходе хозяйственного развития асимптотически приближается к .


                             Рис.6


Стабильность образует важное свойство моделей роста, но надо иметь в виду, что многие интересные модели обладают равновесным состоянием, которое не стабильно. Предоставим самому читателю проанализировать поведение модели Солоу (вроде той, которая описана на рис. 6), отбросив предположение о строгой выпуклости f''(·) < 0; при этом обнаружатся случаи, когда равновесное состояние: 1) вообще неустойчиво или 2) устойчиво, но обладает не глобальной, а лишь локальной устойчивостью. Подобным же образом усложнение предпосылок относительно технологии, предполагающее, например, существование различных методов производства в тех секторах экономики, которые выпускают потребительские и инвестиционные товары, или изменения в соотношении между сбережениями и инвестициями, может привести к тому, что асимптотическое движение экономики в таких моделях будет зависеть от начальных условий.
Стабильность и государственный долг
Что же можно сказать о стабильности в моделях, в которых фигурирует государственный долг? Предположим сначала, что размер бюджетного дефицита в расчете на душу населения ξ со временем не меняется. Поскольку с = (1 - s) [f (k) + ξ] и = f(k) - с - nk, то можно записать следующее выражение:
= s f(k) - [(l-s)ξ+nk].
На рис. 6 равновесные значения k определяются пере сечением кривой sf(k) и проведенной параллельно лучу nk пунктирной линии, пересекающей ось ординат в точке (1 - s)ξ. В ситуации, когда государственный бюджет сводится с дефицитом, возможны два равновесных состояния: и . В окрестности точки знак k тождественно совпадает со знаком ( - k), поэтому равновесное состояние при постоянном ξ оказывается нестабильным. В окрестности точки знак k совпадает со знаком (k -), вследствие чего при постоянном ξ устойчивость носит локальный характер.
Таким образом, равновесный уровень k вряд ли может наблюдаться в реальной жизни. Означает ли это, что и анализ этого случая не представляет интереса? Такое утверждение было бы справедливым только при условии, что мы сосредоточили все внимание лишь на тех случаях, когда государство упорно поддерживает постоянные размеры дефицита правительственного бюджета в расчете на душу населения. Читатель может убедить себя в том, что существует такая динамичная финансовая политика, которая обеспечивает глобальную устойчивость соотношения между капиталом и трудом, k. Для этого ему следует просто выбрать такую функцию , чтобы величина [nk + (1 - s) ξ(k)] оказалась меньше (лежала ниже) sf(k) при k < и выше sf(k) при k > k. Следует учитывать там же, что, когда анализ условий стабильности исходит из искусственно ограниченного набора инструментов правительственной политики, легко прийти к ложным выводам. Приведенный выше анализ может свидетельствовать о том, что для теоремы "бремени государственного долга" можно построить контрпримеры, так как и в условиях равновесного состояния знак dk/dx может оказаться положительным.
Межвременной выбор и норма процента
Допустим, что все прочие обязательства фиксированы; тогда общество оказывается перед выбором между потреблением в настоящее время (момент t) и потреблением в более отдаленном будущем (момент t+Δt). Производственные возможности общества могут характеризоваться заштрихованным сектором на диаграмме Ирвинга Фишера, приведенной на рис. 7.8 Величина С(t) характеризует потребление в момент t, а С(t+Δt) потребление в момент t + Δt. Положим, что выбирается определенный производственный план, например 0(t), C0(t+Δt)], который принадлежит кривой, представляющей границу производственных возможностей PPF. Мы знаем, что производственному плану соответствует набор эффективных цен [p(t), р(t+Δt)], где р(t) представляет собой цену потребления на момент t, а р(t + Δt) - цену потребления на момент t + Δt.
Богатство общества будет тогда характеризоваться величиной W0 = р (t) С0(t) + р(t+Δt) С0(t + Δt). Соотношение цен р (t)/p (t + Δt) можно описать отрицательным значением угла наклона касательной к кривой PPF в точке 0(t), C0(t+Δt)]. Допустим, что рассматриваемая экономика относительно невелика и цены мировой торговли [р(t), р(t+Δt)], с которыми она сталкивается, могут считаться фиксированными, иначе говоря, рынки, на которых эти участники хозяйственного процесса осуществляют свои заемные и ссудные операции,- это рынки совершенной конкуренции. В таком случае набор производственных возможностей общества на рис. 7 будет заключен внутри треугольника, описывающего всю совокупность таких возможностей.


                     Рис.7


Границы этого набора возможностей будут описываться cледующими линиями: p(t) С(t) + p(t+Δt) С(t+Δt) = W0, С(t) ≥ О, С(t+Δt) ≥ 0.
Дифференцируя первое из приведенных соотношений, можно записать
Норма процента
Межвременные соотношения между ценами потребления могут быть установлены (или определены) иным способом - с помощью соответствующих процентных выплат и нормы процента. Так, определим величину R как процентную "премиальную надбавку" в области потребления за период от момента t до момента t+Δt; она равна R = (р(t)/p(t+Δt))-1. Если потребление, которое станет возможным в будущем, стоит сейчас ровно столько же, сколько стоит текущее потребление, можно сказать, что процентная "премиальная надбавка" R равна нулю. Если же, однако, мы должны платить за текущее потребление больше, чем за будущее, то такая "премиальная надбавка" R характеризуется положительной величиной.
Допустим, что интервал между t и t+Δt достаточно мал, чтобы мы могли считать, что процент выплачивается непрерывно по примерно одинаковой ставке; другими словами, предположим, что R = ρ·Δt, где ρ обозначает норму процента. Тогда
Разделив обе части на Δt и приняв Δt → 0, можно записать
Итак, относительное снижение текущей цены потребления равно (по сравнению) соответствующей норме процента.
В односекторной модели в силу того, что угол наклона касательной и кривой производственных возможностей PPF равен предельному продукту капитала, взятому с обратным знаком, мы можем записать ρ = МРк или, в случаях, когда указанную функцию можно продифференцировать, ρ(t) = f'(k(f)). В качестве основной категории в теории межвременного выбора выступает норма процента, которая в условиях простой технологии, предполагающей один товар производственного назначения, оказывается равной предельному продукту капитала.
Когда в модели фигурирует несколько товаров производственного назначения, столь простая взаимосвязь, конечно, не соблюдается, хотя норма процента по-прежнему продолжает играть важную роль в распределении ресурсов между текущим и будущим периодами. Когда же налицо множество потребительских товаров, понятие единой нормы процента "в чистом виде" исчезает; и все же подобно тому как мы свободны в выборе масштаба цен (numeraire), мы можем исчислять норму процента на любой выбираемый нами товар, в том числе можем определить норму процента в денежном выражении.
Случаи, предполагающие более сложную технологию
Теория роста не может, конечно, сводиться лишь к самым простым примерам. Такой подход мог бы только привести - и действительно приводил - к "методологическим" спорам относительно того, можно ли "основные" выводы, полученные для самых элементарных моделей, распространять на более сложные построения. Процесс выведения общих характеристик и закономерностей, естественно, предполагает и определенные "издержки", связанные с усложнением математического аппарата моделей. Модель, которую мы сейчас рассмотрим, содержит столь же общую характеристику технологии, как, скажем, и любая другая из существующих моделей роста. Она основана на разработанной автором этих строк совместно с Дэвидом Кэссом модели, опубликованной в 1976 г. в "The Journal of Economic Theory".9
Предположим, что С(t) характеризует размеры выпуска потребительского товара: Z(t) = (Z1(t),..., Zm(t)) представляет собой вектор выпуска инвестиционных товаров; К(t) = (K1(t),..., Km(t)) - вектор запасов капитальных благ; L(t) - запас единственного "первичного" фактора производства (скажем, труда), причем все величины взяты на момент t. Осуществимая (feasible) технология Т описывается тогда функцией (С, Z, К, L).
(С, Z, К, L) принадлежит Т и = Z,
где технология представляет собой набор неотрицательных осуществимых сочетаний затрат и выпускаемой продукции. Положим, что Т представляет собой замкнутый выпуклый конус, иначе говоря, технология характеризуется постоянной эффективностью при изменении масштабов производства и уменьшающимися нормами замещения.
Пусть р(t) характеризует цену текущего потребления в момент t. Будем использовать цену потребления в исходный момент в качестве масштаба цен (numeraire), р(0) = 1. Допустим, что q(t) = (q1(t),..., qm(t)) представляет собой вектор текущих цен инвестиционных товаров в момент t.
Если производственный план (С, Z, К, L) эффективен, то в каждый данный момент существуют такие цены выпуска (р, q), которые при использовании существующего запаса факторов производства (К, L) позволяют максимизировать размеры чистого национального продукта NNP. В таком случае максимизируемый NNP может быть записан в виде функции цен на выпускаемую продукцию и запасов факторов производства:
Статические технологические возможности производства полностью описываются свойствами функции Н. В силу отмеченных выше характеристик цен Н выпукла, линейно это однородная функция по переменным (р, q). Предположение о том, что Т представляет собой выпуклый конус, равносильно посылке, согласно которой Н вогнуто и однородно первой степени относительно переменных (К, L).
Частная производная (или обобщенный градиент) Н по р равна С, ∂H/∂р = С. Подобным же образом ∂H/∂qi = Zi; при i = 1,...,m. Частная производная Н по Ki является приведенной к настоящему моменту (дисконтированной) стоимостью нормы рентных платежей, обеспечиваемых i-м капитальным товаром ∂Н/∂Кi = ri, i = =1,...,m, тогда как ∂H/∂L = w (последняя величина представляет собой дисконтированную стоимость ставки заработной платы). Тогда r - это вектор текущих норм рентных платежей, обеспечиваемых капитальными товарами, а р (t), q (t), r (t) и w (t) представляют собой текущие цены, причем все они выражены через начальное (или текущее) потребление, р(0) = 1.
Как и раньше, норма процента . В условиях конкуренции прибыль, которую приносит владение каким-либо активом, выраженная в единицах начального потребления, равна нулю. Прибыль, которую обеспечивает собственность на одну единицу i-го капитального блага в течение короткого периода времени [t, (t+Δt)], примерно равна qi(t+Δt) - qi(t) + ri(t)iΔt, где ri(t) представляет собой "среднюю" норму арендной платы для этого короткого периода. Разделим это вырадение на Δt и рассмотрим его предельное значение при Δt ≥ 0; тогда, введя условие нулевой прибыли, можно записать следующее соотношение:
Для каждого капитального блага сумма доходов от прироста рыночной стоимости этого вида имущества и арендной платы, выраженной через начальное потребление, равна нулю. Если владельцы активов наделены даром совершенного краткосрочного предвидения, то такие уравнения будут обеспечивать равенство спроса и предложения на рынках капитального имущества. Указанные дифференциальные уравнения служат также условиями эффективного использования ресурсов: эффективному "межвременному плану" должны соответствовать цены (р (t), q (t}, r (f), w (t)), которые обладают описанными выше свойствами.
Положим, что процентные "премиальные надбавки" в области потребления (или в сфере "полезности") равны нулю. Тогда, поскольку и р(0) = 1, р(t) = 1 для всех t. Допустим также, что численность рабочей силы не увеличивается, тогда мы можем перейти к рассмотрению NNP в расчете па душу населения Н (р(t), k(t)) ≡ Н (1, q(t), К(t)/L(t), 1). Траектории конкурентного (и эффективного) роста должны удовлетворять следующим условиям:
и
Из первого уравнения следует, что = z, из второго - что + r = 0. Подобная система дифференциальных уравнений известна математикам и физикам под названием системы Гамильтона. Гамильтонова функция Н полностью описывает статичную технологию.
В случаях, когда ρ = 0, складываются условия оптимального (в соответствии с определением, содержавшимся в задаче Рамсея) роста при более широком выборе технологических возможностей. Решение этих дифференциальных уравнений, характеризующих равновесные состояния, позволяет получить вектор соотношений между капиталом и трудом, определяемых "золотым правилом" накопления. Обеспечивает ли такой вектор k*, определяемый "золотым правилом", стабильное или нестабильное равновесие, зависит от технологии. В частности, если H строго выпукла по q и строго вогнута по k, то при соблюдении граничных условий равновесие системы окажется глобально стабильным.
Заметим: для того чтобы модель носила замкнутый характер, используется "условие спроса", которое определяет норму процента. Для того чтобы обеспечить стабильное равновесие в рамках более общей системы по мере увеличения нормы процента ρ, должны предъявляться все более жесткие требования к форме (более конкретно, на k выпуклости или вогнутости), соответствующей функции Гамильтона.
Итак, в настоящее время неоклассическая теория имеет в своем распоряжении развитый "инструментарий", позволяющий исследовать в самых общих теоретических построениях (general setting) условия глобальной стабильности. При этом следует еще раз подчеркнуть: вопрос о стабильности, конечно, представляет собой интересный аспект экономических моделей, и все же стабильность никак не может считаться главным свойством таких моделей.
Неоднородный капитал и накопление различных видов активов
Модели с неоднородным капиталом во многом отличаются от моделей с однородным капиталом, в этом разделе мы рассмотрим лишь две особенности моделей, включающих неоднородный капитал. Одна из них, связанная с проблемой "переключения" технологии (reswitching of techniques), вызвала особый интерес и изучалась многими авторами, хотя, на мой взгляд, эта проблема не столь уж важна с точки зрения общего содержания "межвременной" экономической теории. Другой вопрос касается оценки активов в предпринимательской экономике. Процессы оценки активов на основе конкуренции, по-моему, в какой-то мере обойдены вниманием экономистов, хотя, как мне представляется, они-то и заслуживают самого серьезного исследования, поскольку они оказываются в центре многих проблем, с которыми сталкивается "межвременная" экономическая теория.
"Переключение" технологии
Ограничим наше рассмотрение случаями, в которых норма процента сохраняет постоянную величину,. Пусть Q(t) представляет собой вектор текущих цен инвестиционных товаров: Q(t) = . Тогда условия эффективности можно записать в следующем виде:
и
Допустим, что ∂Н(Qρ, k)/∂Q = 0 = ∂Н(Qρ, k)/∂k + ρQρ; в таком случае (Qρ, kρ) будет определять равновесное состояние, складывающееся при постоянной норме процента. Теперь предположим, что равновесный вектор капиталовооруженности представляет собой функцию от нормы процента ρ, kρ(ρ). Мы показали, что в моделях, в которых фигурирует один товар производственного назначения, равновесная норма процента определяет капиталовооруженность, соответствующую стационарному состоянию экономики, и, достигнув величины kρ, она не уменьшается при дальнейших изменениях ρ. Таким образом, в модели с однородным капиталом по мере снижения нормы процента (предполагаем, что последняя проходит через ряд равновесных значений) капиталовооруженность возрастает или по крайней мере не уменьшается.
Сохраняет ли это утверждение силу и для технологий, предполагающих функционирование неоднородного капитала? Ответ гласит: нет. Используя применяемые в экономической теории методы математического программирования и предположив, что технологические коэффициенты сохраняют постоянную величину, Чемпернаун, Пасинетти, а также некоторые другие авторы построили примеры, Демонстрирующие следующее свойство. Пусть ρ1 представляет собой норму процента, при которой используется технология А. Предположим, что при некоторой норме процента ρ2 < ρ1 применяется производственная технология В. Развивая далее подобный пример, они показали что при более низкой норме процента ρ3 (ρ1 > ρ2 > ρ3) снова используется технология А. Но в таком случае технологию А нельзя назвать ни более "капиталоемкой", ни менее "капиталоемкой" по сравнению с В.10
Эти примеры свидетельствуют о том, что трудно предполагать существование какой-то "обобщенной характеристики капиталоемкости"; вместе с тем норма процента продолжает оставаться мерой общественного дисконта при динамических сопоставлениях, предполагающих технические преобразования в процессе производства.
Уравнение, определяющее равенство спроса и предложения на рынке капитального имущества
Различие, которое Кейнс проводил между сбережениями и инвестициями, на самом деле касается структуры сбережений. В простейшей модели Солоу не предусматриваются какие-либо средства накопления богатства, кроме единственного товара производственного назначения, поэтому сбережения должны принимать форму капитальных вложений и проблема распределения инвестиций между различными видами активов, разумеется, просто не возникает. Между тем действительно интересные макроэкономические динамические процессы появляются только тогда, когда становится возможным выбор того или иного вида капитального имущества.
Суть процесса видна с особой отчетливостью, если рассмотреть в качестве примера выбор между различными видами "бумажных активов" (деньги, облигации, обыкновенные акции и т. п.) - такие примеры можно найти в ряде работ, однако здесь мы ограничимся простой моделью, включающей неоднородный капитал. Будем полагать, что выпуск продукции на душу населения у является функцией от приходящегося на одного занятого парка оборудования типов 1 и 2 (обозначим эти величины соответственно k1 и k2). Производственную функцию будем обозначать символом f(·); в таком случае
y(t) = f(k1(t), k2(t).
Перед нами односекторная модель, включающая два вида капитального имущества; в этой модели y = с + z1 + z2, где zi(i = 1, 2) обозначает инвестиции в i-й вид капитального имущества, приходящиеся в среднем на одного занятого. Тогда граница производственных возможностей PPF будет представлять собой плоскость в пространстве (с, z1, z2), a при i = 1, 2. Величина p(t) представляет собой текущую цену потребления в момент t, р(0) = 1 и qi(t) - текущую цену капитального блага i на тот же момент t. Пусть Qi(t) = qi(t)/p(t) будет представлять текущую цену инвестиций в момент t. Положим также, что кейнсианская функция потребления имеет самую простую форму, скажем с = (1 - s) f(k1, k2).
Если намечено производить потребительские и инвестиционные товары, то mах (q1, q2) = р, или
max (Q1, Q2) = 1.
Кроме того, капитальные вложения будут направляться в инвестиционный товар, имеющий более высокую цену, другими словами, если 1 = Q1 > Q2, то z2 = 0. Пусть - это ожидаемый темп изменения цены i-го капитального товара, а ri - конкурентная норма арендных платежей, обеспечиваемая тем же капитальным благом. Тогда равновесие на рынке капитального имущества будет характеризоваться следующим соотношением:
Иначе говоря, суммы ожидаемых доходов от прироста рыночной стоимости капитального блага и от поступления арендных платежей для рассматриваемых инвестиционных товаров должны быть одинаковыми. В условиях конкуренции нормы арендной платы совпадают с предельными продуктами соответствующих видов капитала, следовательно, можно записать:
ri = ∂f/∂ki ≡ fi
и
Если предположить, что ожидания цен носят статичный характер: ,то окажется, что Q1/Q2 = f1/f2 и инвестируемые средства направляются в тот вид капитальных благ, который обеспечивает сравнительно больший предельный продукт. Таким образом, выбор оборудования в рассматриваемом частном случае оптимален но при этом предполагается, что капиталисты не посещают школ бизнеса (иначе говоря, предполагается, что они исходят из того, что цены будут оставаться неизменными плохо справляясь с задачей предвидения будущего).
Рассмотрим, однако, другой крайний случай. Пусть теперь капиталисты - все без исключения - являются выпускниками школ бизнеса и могут верно предугадывать действительные события; итак, будем полагать, что их ценовые ожидания полностью реализуются, т. е. или
Положим, что 1 = Q1 > Q2, но f2 > f1 таком случае рассматриваемая система начинает направлять инвестиции в тот капитальный товар, который обеспечивает меньший предельный продукт. Тогда можно записать следующее соотношение:
Q2 = Q2f1 - f2.
При этом k2 будет уменьшаться по сравнению с k1, заставляя тем самым (Q2 снижаться в еще большей степени. Этот пузырь в конечном счете должен лопнуть - весь вопрос лишь в том, как скоро это случится. Вот эти-то изменчивые, "самопроизвольные" и дестабилизирующие доходы от прироста рыночной стоимости капитальных благ и лежат в основе кейнсианского подхода, различающего общественные и частные доходы, обеспечиваемые тем или иным видом капитального имущества.11
В заключение можно выразить надежду на то, что в ближайшее десятилетие будут достигнуты новые важные успехи в развитии фундаментальных положений макродинамической теории. Центральную роль призваны сыграть дальнейшее изучение процессов формирования ожиданий и установления равенства спроса и предложения на рынках капитального имущества. И если мы сумеем преодолеть сложности, которые возникают при анализе моделей экономического роста, включающих различные виды товаров производственного назначения, цепных бумаг и денег, в будущем иас ожидает соответствующая "награда"- мы сможем глубже разобраться в хозяйственных механизмах, определяющих сбережения, инвестиции и формирование цен на элементы капитального имущества.12
Пенсильванский университет

ПРИМЕЧАНИЯ:

1 Arrow K.J.and Debreu G. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy.- Econometrica 22 (July 1954), p. 265-290; McKenzie L. On Equilibrium in Graham's Model of World Trade and Other Competitive Systems.- Econometrica 22 (April 1954), p. 147-161.
2 См.: Solow R.M.A Contribution to the Theory of Economic Growth.- Quarterly Journal of Economics 70 (February 1956), p. 65- 94; Swan Т. W. Economic Growth and Capital Accumulation.- Economic Record 32 (November 1956), p. 334-336; Harro d R. An Essay in Dynamic Theory.- Economic Journal 40 (March 1939), p. 14-33 с исправлениями на с. 377 в июньском номере этого журнала за 1939 г.; D о m a r E. Capital Expansion, Rate of Growth, and Employment.- Econometrica 14 (April 1946), p. 137-147. В статье Солоу содержится тонкий анализ модели, которую назвали моделью "Харрода - Домара". Но если суть построений Домара схвачена им правильно, то модель Харрода в действительности все же несколько отличается от того толкования, которое приведено в статье Солоу. См. также: Т о b i n J. A Dynamic Aggregate Model.- Journal of Political Economy 63 (April 1955), p. 103-115. Все упомянутые работы сведены воедино в превосходной хрестоматии: S t i g 1 i t z J. E., U z a w a H. (e d s.). Readings in the Modern Theory of Economic Growth. Cambridge, MIT Press, 1969. В этой связи следует упомянуть еще один полезный сборник: Growth Economics, ed. A. Sen. Harmondsworth, Middlesex. Pengnin, 1970. Тщательный и достаточно полный анализ проблем экономического роста можно найти в учебном пособии: Burmeister E. and D о b е 11 A.R. Mathematical Theories of Economic Growth New York, Macmillan, 1970. Содержание этой книги может характеризовать важнейшие достижения теории экономического роста к началу 70-х годов. Для тех, кто хотел бы ограничиться чем-нибудь попроще, можно рекомендовать учебник по проблемам экономического роста, предназначенный для начинающих: N е h е r Р. А. Economic Growth and Development. New York. Wiley, 1971.
3 Hicks J.R. Mr. Keynes and the "Classics": A Suggested Interpretation.- Econometrica 5 (April 1937), p. 147-159.
4 См., например, разработку этой старой идеи в статье Дэвида Кэсса, Сass D. Duality: A Symmetric Approach from the Economist's Vantage Point.- Journal of Economic Theory 7 (March, 1974), P. 272-295.
5 В книге крупнейшего специалиста в данной области, Е. Фелпса, можно найти достаточно полный перечень ссылок на предшествующую литературу. См.: Р h е 1 р s Е. S. Golden Rules of Economic Growth. New York, Norton, 1966. Строгое доказательство теоремы неэффективности Фелпса - Купманса, а также изложение теории оптимального роста приводятся в первой из моих лекций "Применение принципа максимума Понтрягина в экономике", опубликованной в сборнике: Kuhn and Szego (eds.). Mathematical Systems Theory and Economics, 1. Berlin, Springer, 1969. Теорема Фелпса - Купманса недостаточно полно характеризует неэффективность; более полное описание приведено в работе Дэвида Кэсса. См.: С a s s D. On Capital Accumulation in the Agregative, Neoclassical Model of Economic Growth: A Complete Characterization.- Journal of Economic Theory 4 (April 1972), p. 200-223.
6 Исходным пунктом исследования проблем оптимального роста послужила статья Ф. Рамсея: R a m s е у F. P. A Mathematical Theory of Saving.- Economic Journal 38 (December 1928), p. 534-559, которая перепечатана в кн.: Stiglitz and U z a w a. Readings p. 229-445. См. также: С a s s D. Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation.- Review of Economic Studies 32 (July 1965), p. 233-240, и К о о р m a n s, Т. С. On the Concept of Optimal Economic Frowth.- в: Semaine d'Etude sur le Role de 1'Analyse Econometrique dans la Formation de Plans de Development. Vatican City, Pontifical Academy of Sciences, 1965, p. 225-287. Несколько очерков по вопросам оптимального роста содержится также в кн.: Shell К. (еd.). Essays on Theory of Optimal Economic Growth. Cambridge, Massachusetts Institute of Technology Press, 1967.
7 Phelps E., Shell K. Public Debt, Taxation, and Capital Intensivess.- Journal of Economic Theory 1 (October 1969), p. 330-346. Анализ фискальной и денежной политики в условиях полной занятости для двухсекторной экономики приведен в кн.: F о 1 е у D. К. and Sidrauski M. Monetary and Fiscal Policy in a Growing Economy. New York, Macmillan, 1971. О моделях экономического роста, предусматривающих накопление бумажных активов, можно прочесть в статье "первооткрывателя" этой проблемы Тобина: Т о b i n J. Money and Economic Growth.- Econometrica (October 1965), p. 671-684. См. также статью: Shell К.., S i d r a u s k i M., and Stiglitz J. E. Capital Gains, Income, and Saving.- Review of Economic Studies 36 (January 1969), p. 15-26.
8 Основополагающим трудом, содержащим теоретическую характеристику "межвременного выбора" и его связи с нормой процента, служит книга И. Фишера "Теория процента": Fisher I. Theory of Interest. New York, Kelley, 1930.
9 Использованию системы уравнений Гамильтона для анализа проблем экономической динамики посвящен февральский (1976 г.) номер Journal of Economic Theory (vol. 12). Предшествующий анализ проблем многосекторного экономического роста можно найти в книге M. Моришимы: Morishima M. Eqiulibrium, Stability and Growth. Oxford, Oxford University Press, 1964.
10 К моменту проведения симпозиума "Парадоксы в теории капитала" страсти, бушевавшие вокруг проблем "переключения", уже несколько улеглись. Доклады, с которыми выступили на симпозиуме Пасйнетти, Левхари, Самуэльсон, Моришима, Бруно, Бурмайстер, Шешински и Гареньяни, приведены в Quarterly Journal of Economics 80 (November 1966).
11 Излагаемый материал о роли уравнения, характеризующего равенство между спросом и предложением на рынке капитального имущества, почерпнут из статьи: Shell К. and Stig1itz J. E- The Allocation of Investment in a Dynamic Economy.- Quarterly Journal of Economics 81 (November 1967), p. 592-609; последняя статья была вдохновлена работой Ф. Хана: Н a h n F. Н. Equilibrium Dynamics with Heterogenous Capital Goods.- Quarterly Journal of Economics 80 (November 1966), p. 633-646.
12 К глубокому сожалению, ограниченность размеров главы не позволяет углубиться в анализ проблем децентрализованного роста когда могут "сосуществовать" во времени различные поколения. Первая работа, посвященная этому вопросу: Samuel-son Р. An Exact Cosumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money.- Journal of Political Economy 66 (December 1958), p. 467-482. В содержательной в прочих отношениях статье "Национальный долг в неоклассической модели" П. Даймонд, пытаясь показать существование бремени, порождаемого государственным долгом, использовал при этом некорректный анализ стабильности. См.: Diamond P. National Debt in a Neoclassical Model.- American Economic Review 55 (December 1965), p.1126-1150. В последующем эта проблема была исследована в очерке: Cass D. and Yaari M. E. Individual Saving,Aggregate Capital Accumulation, and Efficient Growth. - B. Shell. Essays on Theory of Optimal Economic Growth, а также в моей статье Notes on the Economics of Infinity. - Journal of Polical Economy 79 (September/October 1971), p. 1002-1011.
Как найти и купить книги
Возможность изучить дистанционно 9 языков

 Copyright © 2002-2005 Институт "Экономическая школа".
Rambler's Top100