Равенство Слуцкого вошло едва ли не во все учебники микроэкономики. Рассматривалось оно и в нашем журнале (лекция 16), но, как и в большинстве русскоязычных изданий, и оригинальных, и переводных, лишь в сильно упрощенном изложении. Упрощения касались нескольких моментов.

1) Рассматривался случай двух благ, допускающий простую геометрическую интерпретацию, и не рассматривались более общие случаи.

2) Изменение цены некоторого блага влечет за собой изменение объемов потребления всех благ - и того же самого, и других. Все эти изменения в соответствии с теоремой Слуцкого разлагаются на компоненты, связанные с эффектами замены (замещения) и дохода. У нас же рассматривалось лишь изменение объема потребления того самого товара, цена которого изменилась. Это оправдано тем, что целью такого построения являлся анализ поведения потребителя на определенном рынке, что позволило в конце концов объяснить кривую спроса на этом рынке. Изменение цен на иные товары объясняет не саму рассматриваемую кривую спроса, а ее сдвиги.

3) Рассматривались конечные приращения цены; при этом разложение результата на компоненты может быть выполнено неоднозначно: существуют подход Слуцкого и подход Хикса (см. [1]); последовательность замещения и изменения реального дохода может быть различной. Дифференциальное соотношение, составляющее утверждение Е. Е. Слуцкого, однозначное и не допускающее произвола в разложении, в упомянутых изданиях вообще не рассматривается.

Все это связано с тем обстоятельством, что учебники, о которых идет речь, главным образом освещают начальный курс микроэкономики; их авторы стараются уберечь читателя от возможных математических затруднений. По этой же причине равенство Слуцкого приводится без доказательства.

Следует заметить, что в статье Е. Е. Слуцкого "К теории сбалансированного бюджета потребителя" не только формулировалось и доказывалось знаменитое уравнение, но был введен ряд важных понятий и утверждений, составивших основу теории потребления. Более того, высказанные в ней идеи лежат также в основе теории предложения факторов (см., например, лекцию 35), так что можно говорить о созданной Е. Е. Слуцким теории рыночного поведения домашних хозяйств. Тот же самый подход оказался плодотворным и в теории производства, где влияние изменения цены ресурса может быть разложено на составляющие, подобные эффектам замены и дохода в потреблении.

Ниже излагаются теорема Слуцкого и связанные с ней вопросы теории потребления с полным доказательством всех утверждений. Однако изложение не воспроизводит текст самого Е. Е. Слуцкого: за время, прошедшее после выхода его работы, значительно усовершенствовались и методы микроэкономического анализа, и математическая техника анализа оптимизационных задач.

1.Функция спроса. Будем считать, что потребитель выбирает набор, включающий n различных благ. Для набора благ будем использовать векторное обозначение Х = (х₁, х₂ ,..., х_n). Система предпочтений потребителя описывается функцией полезности u(Х), которую будем считать непрерывно дифференцируемой. Вектор Р = (р₁, р₂,..., р_n) характеризует цены на рынках благ. Возможности выбора для потребителя ограничены величиной его дохода I. Таким образом, потребительский выбор может быть описан оптимизационной задачей

u(X) → max при РХ = I ,                  (1)

где использовано обозначение

Решение этой задачи - выбираемый потребителем набор благ - зависит от цен и дохода. Эта зависимость выражается функцией спроса:

Каждая из скалярных функций D_i(P,J) - спрос потребителя на i-тое благо, зависящий от дохода и всех цен.

Условием равновесия потребителя является пропорциональность предельных полезностей всех благ ценам:

                                  (2)

Основной вопрос, рассматриваемый в дальнейшем, связан с реакцией потребителя на изменение одной из цен (скажем, р_i) при постоянстве всех прочих цен и дохода. При этом изменяются значения всех функций D_i, как из-за изменения ценовых пропорций, так и из-за изменения реального дохода потребителя.

2. Косвенная полезность.

В рамках современной теории полезности, начало которой положено классическими работами Дж. Хикса и Р. Аллена [2, З], уровень реального дохода связывается с максимальной степенью удовлетворения, которой может при рациональном выборе достичь потребитель при данных ценах и данной величине денежного дохода. Если полезность набора благ описывается функцией полезности u(Х), то уровень реального дохода, зависящий и от денежного дохода I, и от системы цен Р, может быть описан функцией косвенной полезности (indirect utility)

или

V(Р, I) = u (D(Р, I)).                          (3)

Косвенная полезность сочетания денежного дохода и цен - это полезность набора D - решения задачи (1). В то время как функция полезности u(Х) непосредственно характеризует систему предпочтений потребителя, функция косвенной полезности V(P,I) связана с предпочтениями через оптимизирующий процесс потребительского выбора.

Если считать цены фиксированными, то косвенную полезность можно трактовать как полезность денежного дохода. При этом косвенная полезность измеряется в той же шкале, что и "прямая полезность" благ u(Х). С точки зрения ординалистской концепции потребительского поведения числовые значения функции V(P,I) не представляют интереса. Так же как и функция прямой полезности, она позволяет сопоставить комбинации цен и денежного дохода (Р,I) и выяснить, какие из них более, а какие - менее благоприятны для данного потребителя. В частности, в терминах косвенной полезности легко определить введенные Хиксом понятия эквивалентного (ΔI_e)и компенсированного (ΔI_c) приращений дохода, соответствующих изменению цен ΔP:

Влияние изменения дохода и цен на уровень удовлетворения потребителя можно определить, почленно дифференцируя равенство (З):

                             (4)

                             (5)

Отметим, что равенство, выражающее бюджетное ограничение:

                                    (6)

выполняется при любых I и Р, так что его можно дифференцировать:

         (7)

или

                            (8)

Сравнивая равенства (2) и (7) с учетом условия (1), находим, что

                                          (9)

Почленно перемножая равенства (8) и (9) и сравнивая с (5), получаем

                               (10)

Равенство (10) имеет достаточно прозрачную экономическую интерпретацию и на первый взгляд представляется тривиальным. Если объем потребления j-того блага составляет D, а его цена возросла на Δр_j › 0 , то расходы на его приобретение возрастают, казалось бы, на величину Δр_jD_j; увеличение дохода на эту величину скомпенсировало бы ущерб от роста цены, так что Δi_c = Δp_jD_j.

Именно такой точки зрения придерживался Е. Е. Слуцкий. Дж. Хикс обратил внимание на следующее. При изменении цены j-того блага изменилось соотношение цен, и хотя добавка к исходному доходу величины Др. D позволит потребителю приобрести исходный набор благ, но в новой ситуации такой выбор, вообще говоря, не оптимален, т. е. потребитель окажется в состоянии приобрести и более предпочтительный набор. Можно утверждать лишь, что ΔI_c ≥ Δp_jD_j. В этом и проявилось различие в подходах Хикса и Слуцкого к понятию компенсации изменения цены.

Итак, если, следуя Хиксу, понимать под компенсацией восстановление исходного уровня благосостояния, то произведение Др. D дает завышенную оценку ΔI_c; оптимальный выбор потребителя в каждой ситуации "цены-доход" и происходящие при этом процессы замещения одних благ другими приводят к нарушению равенства ΔI_c = Δp_jD_j для конечных приращений.

Но оно, как следует из равенства (10), верно в пределе при Δр_j → 0. Действительно,

так что в дифференциальной форме dI_c = D_jdp_j. Аналогичные соображения показывают, что dI_e = - D_jdp_j.

3. Функция замещения. Под замещением, или заменой, подразумевается такое изменение объемов потребления различных благ, при котором полезность потребляемого набора не изменяется. При изменении цен точка потребительского выбора, вообще говоря, перемещается с одной поверхности (кривой) безразличия на другую, т. е. полезность потребляемого набора изменяется. Применительно к изменению потребительского выбора при изменении цен замещение выступает только как средство теоретического анализа; оно является лишь компонентой изменения выбора и может рассматриваться как результат изменения цен с одновременным компенсирующим изменением дохода.

Для формального описания замещения рассмотрим оптимизационную задачу, сопряженную по отношению к задаче (I): нахождение набора благ, имеющего наименьшую стоимость и доставляющую потребителю заданный уровень полезности U:

РХ →min при u(Х) = U (11)

Решение этой задачи - набор благ, рассматриваемый в зависимости от системы цен Р и от заданного уровня полезности U, - будем называть функцией замещения⁵:

Изменение любой из цен (р_j) приводит к изменению всех Q_i, степень этой изменчивости получила название эффекта замены. В дифференциальной форме эффект замены выражается величиной dQ_i/dp_j.

4. Равенство Слуцкого.

Пусть потребитель, имеющий доход I, при ценах Р выбрал набор D(P, I) и получил полезность U=V(P, I). Ясно, что он не мог бы достичь той же полезности меньшими затратами, так что набор D(P, I) есть в то же время решение задачи замещения при данных ценах и уровне удовлетворения. Поэтому имеет место тождество

<D(P, I) = Q(P, V(Р, I)).(12)

Дифференцируя почленно тождество (12) по цене j-того блага, получим

или, с учетом равенства (10),

          (13)

С другой стороны, дифференцируя (12) по I, получим

Сопоставляя этот результат с равенством (13), получим утверждение теоремы Слуцкого:

Первое слагаемое в правой части интерпретируется как эффект замены, второе (вместе со знаком "минус") - как эффект дохода.

Заметим, что вектор Х потребительского выбора можно рассматривать и как значение функции спроса, и как значение функции замещения:

где

Поэтому в тех случаях, когда мы будем оперировать величинами объемов спроса на различные блага, а не их зависимостями от тех или иных переменных, нам будет безразлично, считать ли их значениями функции D или Q; мы будем их обозначать х.. В этих обозначениях равенство Слуцкого имеет вид

                  (14)

В частности, при i = j равенство (14) описывает изменение спроса на некоторое благо при изменении его собственной цены:

Вследствие убывающей нормы замены собственный эффект замены всегда отрицателен; эффект дохода может быть как отрицательным (для нормальных благ), так и положительным (для низших благ).

Равенство Слуцкого может быть записано также как соотношение между эластичностями спроса. Умножим обе части равенства (14) на p_j / x_i:

Выражение в левой части представляет собой эластичность спроса на i-тое благо по цене j-того (прямую - при i = j, перекрестную - при (i≠j):

Первое слагаемое в правой части представляет собой эластичность компенсированного спроса (при фиксированной полезности) на i-тое благо по цене j-того:

Выражение

представляет собой эластичность спроса по доходу, а отношение w_j=р_jх_j / I - долю j-того блага в расходах. Используя эти обозначения, выразим равенство Слуцкого в терминах эластичностей спроса:

                                (15)

5. Перекрестный эффект замены.

С задачей (1) оптимального потребительского выбора, ограниченного величиной дохода, связана функция V(P, I), характеризующая полезность дохода I при заданных ценах. Подобно этому, с задачей (11) связана функция

или

y(Р, U) = Р•Q(P, U).                       (16)

Функция j(P, U) характеризует расходы потребителя, минимально необходимые для достижения уровня благосостояния U при заданных ценах. Будем называть ее функцией расходов.

Равенство (16) выполняется функционально, так что его можно почленно дифференцировать по р_j:

                 (17)

Так как задача (11) является сопряженной по отношению к задаче (1), ее решение также удовлетворяет условию (2): цены благ пропорциональны их предельным полезностям. Поэтому

Заметим, что сумма в правой части представляет собой полную производную полезности dU/dp при замещении; но при замещении по определению U = const так что dU/dp_j = 0. Итак, сумма в правой части выражения (17) равна нулю, так что

Продифференцируем полученное равенство по цене i-того блага:

Но

так что

                                   (18)

Итак, перекрестные эффекты замещения объема i-того блага по цене j-того и объема j-того блага по цене i-того равны друг другу.

Это обстоятельство существенно для классификации взаимозависимостей благ в потреблении. Если блага являются взаимными заменителями, то перекрестный эффект замены положителен. При этом безразлично, идет ли речь об эффекте замены объема i-того блага по цене j-того, или, наоборот, они равны друг другу. То же относится и к взаимодополняющим благам - там обе характеристики отрицательны. Таким образом, перекрестные эффекты замещения являются в полном смысле характеристиками взаимной зависимости благ.

Рассмотрим, как соотносятся соответствующие эластичности спроса. Из определения эластичности компенсированного спроса следует

Равенство (18) позволяет утверждать, что

или

Умножая обе части на I, получим

(19)

Поскольку перекрестные эластичности компенсированного спроса отличаются от соответствующих эффектов замены положительными множителями, величины ê_ij и ê_jiтакже совпадают по знаку.

Чтобы установить связь между "обычными" перекрестными эластичностями спроса (при фиксированном доходе), преобразуем равенство (15):

Из равенства (19) теперь следует результат:

Таким образом, из равенства Слуцкого вытекает взаимная сопряженность перекрестных эластичностей спроса на два блага по ценам друг друга и их эластичностей по доходу. Влияние дополнительных слагаемых - эластичностей по доходу - приводит к тому, что величины e_ij и е_ji могут различаться не только абсолютной величиной, но и знаком. В таких случаях оценка характера взаимозависимости благ оказывается противоречивой. Эластичности вида ê_ij ,"очищенные" от влияния эффекта дохода, часто называют нетто-эластичностями (или эластичностями по Хиксу), эластичности вида е_ji - брутто-эластичностями. Непротиворечиво оценивают характер взаимосвязи благ нетто-эластичности.

1.Гальперин В.М, Игнатьев С.М; Моргунов В.И. Микроэкономика : В 2-х т. СПб.: Экономическая школа, 1994. Т. 1.

2. Hicks J. R„ Alien R. G. D. A reconsideration of the theory of value // Economica. 1934. N 1. P. 52-76. - Рус. пер.: Хикс Дж. Р.. Аллен Р.Г.Д. Пересмотр теории ценности // Теория потребительского поведения и спроса. СПб.: Экономическая школа, 1993. С. 117-141. (Вехи экономической мысли; Вып. 1).

3. Hicks J.R. Value and capital. Oxford, 1939. - Рус. пер.: Хикс Дж.Р. Стоимость и капитал. М., 1988. П. А. Ватник