Л. В. Канторович стал классиком при жизни. Он стоял у истоков современного функционального анализа, вычислительной математики и математической экономики. Его вклад в становление и развитие этих дисциплин трудно переоценить.
Лицо современной экономической науки во многом определяется трудами Леонида Витальевича. Он поставил на твердый научный фундамент идею оптимальности в экономике, выявил существование целого класса производственно-экономических задач и разработал методы их решения. Ядром открытия Л. В. Канторовича явилась обнаруженная им неразрывная связь оптимальных производственных планов с соответствующими объективно обусловленными (двойственными) оценками. Своей трактовкой этих оценок Л. В. Канторович заложил основы оптимизационного экономико-математического анализа широкого круга таких экономических проблем, как планирование, ценообразование, измерение эффективности, построение системы рентных платежей, экономическое стимулирование нововведений и т. д.
Без преувеличения можно сказать, что последовательное и строгое обоснование Л. В. Канторовичем оптимального подхода к экономическим процессам, их рассмотрение под углом зрения оптимизации наметило коренной переворот в методологии управления народным хозяйством, в методах текущего и перспективного планирования, в теории измерения эффективности социалистического общественного производства и построения цеп, в системе хозрасчета и др.; сыграло огромную роль в становлении современного экономического мышления, получившего широкое развитие сегодня в связи с решениями XXVII съезда КПСС и июньского (1987 г.) Пленума ЦК КПСС о переходе к экономическим методам управления народным хозяйством.
К сожалению, истинное значение работ Леонида Витальевича в области управления, ценообразования и измерения эффективности многими учеными-экономистами до сих пор осознано далеко не в полной мере. Что же касается практики, то здесь предстоит еще многое сделать, чтобы идеи и методы Л. В. Канторовича легли в основу народнохозяйственного планирования, построения цен, рентных платежей и показателен хозрасчета: стали действенным инструментом измерения эффективности принимаемых хозяйственных и плановых решений.
Математическим фундаментом экономических исследований Л. В. Канторовича явилась созданная им новая научная дисциплина - линейное программирование. Идеи и методы линейного программирования получили широкое распространение и использование во всем мире для постановки и решения самых разнообразных экстремальных и вариационных задач в экономике, физике, механике, геологии, энергетике, сельском хозяйстве, па транспорте, а также во многих других отраслях народного хозяйства и областях науки и техники. Приоритет советской науки в создании линейного программирования неоспорим. Основные идеи линейного программирования были изложены Л. В. Канторовичем" в работе "Математические методы организации и планирования производства", опубликованной в 1939 г. Только через 10 лет линейное программирование было переоткрыто на Западе.
II
Леонид Витальевич Канторович родился в Петербурге в 1912 г. в семье врача. В четырнадцать лет он, поступил в Ленинградский университет, где участвовал в семинарах В. И. Смирнова, Г. В. Фихтенгольца и Б. Н. Делоне. Его товарищами по университету были И. Г. Натансон, С. Г. Михлин, С. Л. Соболев, В. Н. и Д. К. Фаддеевы.2
Творческие способности Леонида Витальевича проявились чрезвычайно рано. Активную научную деятельность в области математики он начал в пятнадцатилетнем возрасте, будучи студентом второго курса математического факультета Ленинградского университета. К моменту окончания университета (1930 г.) Л. В. Канторович уже являлся автором одиннадцати научных работ, которые были опубликованы в ведущих советских и зарубежных математических журналах.
В 1930 г. Л. В. Канторович принял участие в работе I Всесоюзного математического съезда в Харькове, представив на съезд два доклада - о проективных множествах и о полиномах Бернштейна.
С 1930 г. Л. В. Канторович - аспирант, с 1932 г.- доцент и 1934 г.- профессор ЛГУ. В 1935 г. Л. В. Канторовичу без зашиты диссертации была присвоена ученая степень доктора физико-математических наук, с 1958 г. Л. В. Канторович - член-коррепеспондент АН СССР по экономике, а с 1964 г.- действительный член АН СССР по специальностям математика и экономика.
С 1940 по 1960 г. Л. В. Канторович работает в ленинградском отделении Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова (ЛОМИ АН СССР), совмещая эту работу с заведованием кафедрами в Высшем инженерно-техническом училище (БИТУ) и в ЛГУ. С 1958 по 1961 г. совместно с академиком В. С. Немчиновым Леонид Витальевич возглавлял созданную ими (в 1958 г.) Лабораторию по применению статистических и математических методов в экономике, ставшую впоследствии основой для формирования ЦЭМИ АН СССР в Москве и математико-экономического отделения в Институте математики СО АН СССР.
Л. В. Канторович был в числе первых ученых, приглашенных на работу в созданное в 1957 г. Сибирское отделение АН СССР. С 1960 по 1971 г. Л. В. Канторович работал в г. Новосибирске, являлся заместителем директора Института математики СО АН СССР и заведующим кафедрой вычислительной математики Новосибирского университета. Он внес большой вклад в становление нового научного центра на востоке нашей страны, в становление и развитие нового научного направления, связанного с применением математических методов и вычислительной техники в экономике.
С 1971 г. до последних дней жизни Леонид Витальевич жил и работал в Москве. Он был заведующим лабораторией Института управления народным хозяйством ГКНТ, с 1976 г.- руководителем научного направления во ВНИИСИ АН СССР, связанного с разработкой методов системного анализа и оценки эффективности научно-технического прогресса.
Л. В. Канторович являлся членом Бюро Отделения математики АН СССР, членом ГКНТ СССР, председателем Научного совета ГКНТ по использованию оптимизационных задач в АСУ, председателем Научного совета АН СССР по транспорту, заместителем председателя Междуведомственного Научного совета по проблемам ценообразования Госкомцен СССР и АН СССР, членом редколлегий ряда математических и экономических журналов в нашей стране и за рубежом.
Значительны заслуги Л. В. Канторовича как педагога и организатора науки. Более сорока лет он вед активную преподавательскую деятельность в Ленинградском и Новосибирском университетах. Им созданы крупные научные школы в области функционального анализа, вычислительной математики, математической экономики и оптимального планирования.
Научная и организаторская деятельность Леонида Витальевича Канторовича получила признание не только в нашей стране, и за рубежом. В 1937 г. он был удостоен первой премии на ленинградском конкурсе работ молодых ученых, в 1938 - первой премии по математике на Всесоюзном конкурсе работ молодых ученых, в 1948 г.- премии Ленинградского университета, в 1949 г.- Государственной премии СССР,3 в 1965 г.- Ленинской премии,4 в 1975 г.- Нобелевской премии по экономике. Л. В. Канторович награжден двумя орденами Ленина, тремя орденами Трудового Красного Знамени, орденом Знак Почета, орденом Отечественной войны, десятью медалями.
Л. В. Канторович - почетный доктор наук Гренобльского университета (1967 г., Франция), университета Глазго (1966 г., Великобритания), Варшавской высшей школы планирования к статистики (1967 г., Польша), университета Ниццы (1968 г., Франция), университета Мюнхена (1970 г., ФРГ), Хельсинского государственного университета (1971 г., Финляндия), Йельского университета (1971 г., США), университета Парижа (1975 г., Франция), Кембриджского университета (1976 г., Великобритания), Пенсильванского университета (1976 г., США), Индийского статистического института в Калькутте (1977 г., Индия), университета им. Мартина Лютера в Халле (1984 г., ГДР). Он - обладатель диплома американского общества исследования операций за лучшую работу в 1960 г., диплома Высокой экономической школы Праги (1981 г., Чехословакия), почетный член Венгерской Академии наук (1967 г.), почетный член Американской Академии искусств и науки в Бостоне (1969 г.), член-корреспондент Мексиканской национальной инженерной академии (1977 г.), иностранный член Академии наук ГДР (1977 г.), иностранный член-корреспондент Югославской Академии наук и искусств (1979 г.), член Международного Института управления (1984 г., Ирландия), почетный член Международного эконометрического общества (1973 г.).
III
Круг научных интересов Леонида Витальевича был чрезвычайно широк. Одним из направлений его многогранной деятельности были исследования в области транспорта. Леонид Витальевич внес значительный вклад в совершенствование системы планирования перевозок и размещения грузопотоков на сети [1 (1942), 1 (1949)],5 в решение вопросов учета транспортного фактора при планировании развития и размещения общественного производства [10 (1967), 3 (1974)], в разработку проблем развития транспорта в системе народного хозяйства [9 (1978)], в методологию оценки народнохозяйственной эффективности вложений в транспорт [2 (1979), 10 (1982)], в систему построения транспортных тарифов [4 (1974)] и хозрасчета в транспортных отраслях [5 (1980), 3 (1987)], в разработку социально-экономических проблем развития системы пассажирских сообщений [1 (1969), 1 (1984)].
В 1975 г. Леонид Витальевич Канторович стал председателем Научного совета АН СССР по транспорту. В интервью корреспонденту газеты "Гудок" он сказал:
"...Остановлюсь на роли Научного совета АН СССР по комплексной проблеме единой транспортной системы. В задачи Научного совета, деятельность которого только начинается, входит обеспечение целенаправленности и взаимосогласованности научных исследований в непосредственной связи с практикой.
В соответствии с решениями XXV съезда КПСС (1976 г.) на АН СССР возложены функции главного координатора основных научных исследований. Содействовать расширению и углублению научных связей отраслевых транспортных институтов с академическими, участвовать в разработке соответствующих межотраслевых координационных планов комплексных научных исследований, организовывать всесоюзные конференции по вопросам развития транспорта и т. д.- все это задачи нашего Совета. Одна из его функций - быть трибуной для встреч и обсуждений, давать конкретные предложения и рекомендации, содействующие повышению эффективности транспортной системы страны.
В состав Совета входят представители транспортных министерств, ученые отраслевых транспортных и учебных НИИ, академических институтов, в которых исследуются транспортные и смежные с транспортными научные проблемы. Это позволит наиболее полно выявить все точки зрения по обсуждаемым вопросам. Даже тогда, когда не удастся решить вопрос однозначно и дать общеприемлемые рекомендации, сам факт обсуждения и уточнения различных точек зрения, конечно, должен содействовать выработке правильного решения.
Вопросы создания эффективной единой транспортной системы далеко выходят за рамки транспортных отраслей и должны решаться комплексно с учетом всей совокупности социальных, технических, экономических, организационных, экологических и Других факторов. На мой взгляд, учитывая чрезвычайную важность транспорта, его проблемы следует решать в тесной увязке с развитием всего народного хозяйства, опираясь на научный прогноз социально-экономического развития общества и научно-технического прогресса. Конечно, эти проблемы должны занять, подобающее место в программе исследований, которые осуществляются Академией наук.
Сегодня академические институты, в ряде которых имеются малочисленные подразделения транспортного профиля, исследуют лишь отдельные вопросы, относящиеся к данной области науки. О результате не решаются такие теоретические проблемы, как транспорт в народном хозяйстве, методология определения рациональных масштабов, темпов и пропорций развития различных видов транспорта как составных частей единой системы. Не исследованы социальные последствия развития средств сообщения, обоснованно не определены уровни необходимой транспортной обеспеченности страны и ее регионов.
Все эти социально-экономические вопросы - удел фундаментальной пауки. Именно академические институты могли бы, по-моему, дать наиболее объективные - с народнохозяйственных позиций - научные рекомендации и решения. К сожалению, сейчас даже при разработке важных проблем размещения и развития производительных сил, к примеру освоения месторождений канско-ачинских углей, газа и нефти в Западной Сибири, других природных богатств Сибири и Дальнего Востока, как раз транспортная составляющая оказалась наименее исследованной.
Недостаточное участие фундаментальной науки в решении общетранспортных проблем, равно как и решение ряда важнейших народнохозяйственных проблем в Академии наук без проработки транспортных аспектов, отрицательно сказываются на результатах исследований и их практической реализации".6
Подчеркивая сложность, специфичность, недостаточную разработанность транспортных проблем и важность их правильного решения для эффективного социально-экономического развития нашей страны, Л. В. Канторович тратил много сил па организацию и развертывание в АН СССР комплексных межотраслевых исследований в области транспорта. По его инициативе, под его руководством и при его непосредственном участии при Научном совете была организована работа специальных научных рабочих групп, которые координировали и выполняли межотраслевые исследования по наиболее важным транспортным проблемам, включая развитие и совершенствование методов оценки народнохозяйственной эффективности вложений в транспорт; тарифной системы и хозяйственного механизма на транспорте; решение региональных транспортных проблем в увязке с развитием и размещением производства; решение социально-экономических проблем развития системы пассажирских сообщений и т. д.
По наиболее важным, имеющим народнохозяйственное значение транспортным проблемам, по инициативе Леонида Витальевича Научный совет организовал за период с 1976 по 1986 г. более десятка Всесоюзных совещаний и конференций.7
Результаты научных обсуждений транспортных проблем на Всесоюзных конференциях, совещаниях и заседаниях рабочих групп послужили основой для подготовки и издания под редакцией Л. В. Канторовича восьми научных сборников, а также ряда статей по транспортной тематике в научных журналах и периодической печати.8
Большое значение, особенно в последние годы своей жизни, Л. В. Канторович придавал практической реализации идей оптимального планирования и управления народным хозяйством, много сил тратил на внедрение в плановую практику разработанных ям методов и подходов.
Для позиции Л. В. Канторовича как ученого характерным было то, что, создав строго научную методологию оптимального планирования определения цен и нормативов эффективности, он допускал временное использование практикой паллиативных подходов, если они находятся в правильном русле совершенствования хозяйственного механизма. Эту позицию Леонид Витальевич старался реализовать в плановой и хозяйственной практике.
Он чрезвычайно внимательно следил за подготовкой в плановых и хозяйственных органах соответствующих правительственных документов, постановлений и решений, касающихся транспорта; старался активно участвовать в этой подготовке и воздействовать на решения; своевременно готовил и направлял в соответствующие директивные органы свои предложения и замечания. К числу наиболее важных практических предложений по транспорту, которые были направлены Леонидом Витальевичем в директивные органы, можно отнести "Предложения по совершенствованию системы показателей транспортных отраслей и планирования перевозок в народном хозяйстве".9 В связи с предполагавшимся пересмотром транспортных тарифов Л. В. Канторович в 1983 и 1985 гг. направлял в Госкомцен СССР и МПС СССР "Предложения по совершенствованию железнодорожных и автомобильных тарифов"; в связи с начатой в 1980 г. Госпланом СССР разработкой Долговременной программы развития транспорта Леонид Витальевич направил в 1981 г. в Госплан СССР свои "Предложения к проекту Долговременной программы развития транспорта". В Госплан СССР в 1985 г. были направлены также "Предложения и обоснования необходимости разработки Генеральной схемы сети путей сообщения СССР".10
Указывая на необходимость расширения и развития исследований в области транспорта в системе АН СССР, Леонид Витальевич неоднократно направлял в Президиум АН СССР и в его отделения конкретные предложения по этому вопросу, а также по тематике научных исследований в области транспорта, которые непременно должны были, по его мнению, выполняться под научным руководством АН СССР.
По инициативе и при непосредственной поддержке Леонида Витальевича в 1985 г. при ИЭиОПП СО АН СССР был организован Сибирский филиал Научного совета по транспорту под председательством член-корреспондента АН СССР А. Г. Гранберга.11
Активная научно-методическая, организационная и практическая деятельность Леонида Витальевича в Научном совете по транспорту несомненно оказала большое влияние на научно-методическое продвижение в области организации исследований и решения многих транспортных проблем. Работы и научные воззрения Леонида Витальевича, а также непосредственное общение с ним определили характер научного мышления и деятельности на всю жизнь не только его непосредственных учеников, но и огромного числа его последователей во многих областях науки и практики.
Для своих учеников и последователей Леонид Витальевич всегда являлся образцом честности, бескомпромиссности и твердости в науке, объективности и трудолюбия. Подкупающими его чертами были исключительная доброта, научная щедрость, простота и легкость общения, скромность и даже застенчивость.
До последних дней своей жизни Леонид Витальевич был полон творческих планов и активно участвовал в их претворении. Так, уже будучи тяжело больным, он интенсивно работал над методикой оценки эффективности мероприятий, направленных на ускорение научно-технического прогресса; за неделю до своей кончины Леонид Витальевич написал вступительное слово, которое и прозвучало 1 апреля 1986 г. при открытии организованной; по инициативе Леонида Витальевича в Ленинграде конференции "Совершенствование системы пассажирских сообщений крупных городов и агломераций" [4 (1987)] и опубликовано в настоящей монографии (глава девятая).
Смерть Леонида Витальевича лишила нас возможности личного общения с ним, но его идеи, устремленные в будущее, являются мощным импульсом дальнейшего развития науки.
Все новые и новые поколения экономистов, математиков и специалистов во многих областях науки и техники еще долгое время будут обращаться к трудам Леонида Витальевича и находить в них подходы к решению важнейших народнохозяйственных проблем.
В. Н. Лившиц, Ю. А. Олейник, Н. В. Паенсон, Е. Ф. Тихомиров
2. Мой путь в науке12
Прежде чем перейти к конкретному изложению, я хотел бы кое-что сказать о себе, так сказать, заняться некоторой самокритикой. Я не эрудит. Отчасти это может быть связано с характером образования - в то время ни научных стипендий, ни научных ставок не было, и в последующие годы научную работу мне пришлось совмещать с двумя-тремя педагогическими службами, тем более что с 1930 г. я был основным кормильцем семьи. Должен признаться, что и моя память, и способность к восприятию не намного выше среднего.
Некоторые делят математиков на математиков, обладающих по преимуществу проникающей силой, и математико-концептуалистов. Я принадлежу ко второй категории. В общем меня мало привлекали проблемы, поставленные другими, и знаменитыми проблемами я специально не занимался. Впрочем, те концепции, которые были выдвинуты, позволили не направленным сосредоточением сил, а попутно решить ряд известных проблем.
Наконец, для моей деятельности характерным является постоянное взаимопроникновение теории и практики, в отношении практики, нередко далеко выходящей за пределы математики.
Мое поступление в университет, в силу некоторого почти анекдотического случая, произошло так, что я приступил к занятиям лишь с середины ноября.13 Поэтому первый курс у меня целиком ушел на учебную работу - необходимо было в оставшееся время подготовить и сдать значительный комплекс предметов...
Моя научная работа началась при переходе с первого курса на второй.
Многих удивляет, как это вдруг случилось, что я стал экономистом. Нужно сказать, что некоторый интерес к экономике, к экономическим решениям у меня всегда был. Например, я с большим интересом слушал лекции по политэкономии, которые нам читал на третьем курсе А. А. Вознесенский,14 в последующем ректор университета, брат известного экономиста, председателя Госплана, члена Политбюро Н. А. Вознесенского. Я часто подходил к нему после лекций с вопросами. Марксова теория капиталистического хозяйства, в особенности в части, относящейся к третьему тому "Капитала", выглядела научно стройной и содержательной. Экономика социализма как будто нам тогда не читалась.
Мне даже пришлось работать экономистом. После третьего курса - летом 1929 г.- мы должны были пойти на практику. У математиков практика заключалась в том, чтобы считать цифры от одного до десяти - облачность в геофизической обсерватории или на счетах в сберкассе. Я нашел единственное подходящей место - работа статистиком в Ташкенте в управлении Средазводхоз (огромное управление, которое занималось проектированием и строительством систем орошения по всей Средней Азии). Должности статистика не оказалось, и я был зачислен на должность младшего экономиста. Моим руководителем была Мария Спиридонова, работавшая там, находясь в ссылке.
Половину времени я занимался изучением экономических материалов, описанием условий орошения, использования водных ресурсов и их распределения. Я работал по Чу-Таласской водной системе, которая проходила через две республики - Киргизию и Узбекистан. Другая половина времени мне давалась для собственных занятий - я писал некоторые параграфы из нашего с Е. М. Ливенсоном мемуара об аналитических и проектных множествах, которые были потом частично использованы...
В конце двадцатых-тридцатых годов в связи с потребностями индустриализации огромное расширение получила вузовская сеть. В десятки раз увеличился прием студентов, возросло число вузов. Многие вузы разделились. Так, на базе Ленинградского политехнического института было создано девять индустриальных институтов. Потребовалось большое число преподавателей, в том числе и математиков. Например, первое время кафедрами математики во всех девяти выделившихся из Политехнического институтах заведовал Р. О. Кузьмин. Поэтому я по окончании университета получил семь различных предложений, так же, как и мои товарищи. Выпуски тогда были небольшие, наш выпуск состоял из десяти человек, предыдущий - из семи. Правда, в их число входили С. Л. Соболев, С. А. Христианович, С. Г. Михлин, Б. Б. Девисон, Гоарик Амбарцумян (сестра В. А. Амбардумяна), В. Н. Замятина (Фаддеева)...
Будучи аспирантом университета, я одновременно работал в строительном институте, в первый год в должности ассистента, во второй - доцента, а на третий, что совпало с досрочным окончанием аспирантуры,- профессора. Одновременно в 1932 г. я был избран на должность профессора и заведующего кафедрой Института промышленного транспорта.
Не буду приводить различных анекдотических происшествий, случавшихся в ту пору со мной. Как-то, придя на лекцию для нового потока, я поднялся па кафедру в еще не утихомирившейся аудитории. Тотчас пара студентов стала стаскивать меня:
"Садись на место! Сейчас ведь профессор придет". Часто, однако, анекдотические случаи, происходившие в ту пору с молодыми преподавателями, пересказывались как произошедшие со мной.
Строительный институт, выделившийся из Политехнического, имел сильный преподавательский состав. Его возглавлял известный специалист по теории упругости и строительной механики Борис Григорьевич Галеркин, у которого был ряд талантливых молодых учеников. Установились научные контакты. Это побудило меня познакомиться с прикладной математикой, и в свою очередь аспиранты и молодые преподаватели технических кафедр стали в своих работах широко использовать новые численные методы, в том числе и разработанные мной.
К этому же времени относится мое знакомство с Алексеем Николаевичем Крыловым, фигурой очень колоритной. Кораблестроитель и математик, он неоднократно представлял по предложению В. И. Смирнова мои работы в Доклады АН. До выборов 1929 г. он был единственным математиком в Академии наук: А. М. Ляпунов, А. А. Марков и В. А. Стеклов умерли незадолго До этого, Я. В. Успенский15 был в эмиграции.
Одновременно с расширением вузовской сети были открыты и Многие научно-исследовательские и прикладные институты, куда также привлекались математики. При этом наибольшая заинтересованность была не в теоретическом знании, не в математическом исследовании классических проблем, а в создании и разработке методов, позволяющих эффективно проводить расчеты, необходимые при проектировании крупных объектов - мощных турбин, самолетов, сложных строительных сооружений...
Как я говорил, на выбор тем для научных занятий, наряду с внутренними интересами и математическими устремлениями, определенное влияние оказывали и внешние факторы, общая обстановка. В 1936-1937 гг., когда я заканчивал свои работы по полуупорядоченным пространствам, я почувствовал некоторую неудовлетворенность математикой. Не то чтобы работа была неинтересной или безуспешной, но мир находился под страшной угрозой коричневой чумы - немецкого фашизма. Было ясно, что через несколько лет наступит тяжелейшая война, угрожающая цивилизации. И я чувствовал ответственность, понимая, что незаурядные люди должны что-то сделать.
Конечно, мои работы по чистой и прикладной математике находили использование, в том числе и в спецтематике. В то же время у меня было ясное ощущение, что слабым местом, снижающим нашу индустриальную и экономическую мощь, было состояние экономических решений. Это была не только моя оценка. На XVIII партийной конференции, которая была посвящена вопросам совершенствования управления на предприятиях, говорилось, что только от одного устранения явления штурмовщины выпуск продукции может возрасти на 20-25%. И это был далеко не единственный недостаток, свидетельствующий о несовершенстве управления экономикой.
В то время я все чаще думал об экономических вопросах, скорее, правда, на дилетантском уровне, но все же используя общую интуицию. Например, мной была написана в Верховный Совет записка о нелепом положении с книжной торговлей, системой тиражей и цен. которая приводила к неоправданному книжному дефициту, спекуляции, большим потерям государства и населения.
Перед XVIII партсъездом состоялась открытая дискуссия; можно было писать предложения, соображения, и я тоже направил статью о крайнем искажении системы цен из-за того, что в них не отражается фондоемкость, и об ущербе, который из-за этого происходит. Напечатана она не была, но мне был прислан ответ из бюро цен Госплана, что они рассмотрели статью, но-де мои предложения не учитывают существующий порядок определения цен и политику цен. Одним словом, была послана отписка.
Однако непосредственным поводом к переходу на занятия экономикой послужил в какой-то мере даже случайный факт. Будучи профессором университета,16 я также заведовал отделом математики в Институте математики и механики ЛГУ (директором был В. И. Смирнов) и выполнял в связи с этим некоторые административные обязанности. Однажды ко мне за консультацией пришли несколько инженеров из лаборатории Фанерного треста с довольно грамотно поставленной задачей. Обработка на лущильных станках разного вида материалов давала различный выход продукции. В связи с этим выход продукции с данных станков зависел от такого, казалось бы, случайного факта, как вид сырья и тип лущильного станка. Как это обстоятельство рационально использовать?
Меня эта задача заинтересовала, но все же показалась частной, элементарной, так что я не стал, бросив все, ею заниматься. Я поставил эту задачу на обсуждение на заседании отдела математики, где были такие крупные специалисты, как Н. М. Гюнтер, сам В. И. Смирнов, Р. О. Кузьмин, В. А. Тартаковский. Все послушали, но никто не предложил решения. К кому-то из названных специалистов с этой задачей уже обращались раньше в индивидуальном порядке, кажется к Р. О. Кузьмину. Однако задача все-таки висела надо мной. Это был год моей женитьбы, так что я был отвлечен и этим. Летом или после отпуска мне стали приходить в голову конкретные, в какой-то мере схожие экономические, инженерные и хозяйственные ситуации, где тоже требовалось решение задачи максимизации при наличии ряда линейных ограничений.
В простейшем случае для одного-двух переменных такие задачи решаются просто - перебрать все возможные крайние точки и выбрать наилучшую. Но уже, скажем, в задаче Фанерного треста при пяти станках и восьми видах материала такой перебор потребовал бы решения примерно миллиарда систем линейных уравнений, и было очевидно, что это нереальный путь. Я строил частные приемы решения отдельных видов таких задач, геометрические приемы и, вероятно, впервые докладывал об этой задаче в 1938 г. на октябрьской научной сессии Ленинградского педагогического института им. Герцена, причем в основном это была постановка ряда задач и некоторые соображения по их решению.17
Универсальность подобного класса задач, сопряженная с их трудностью, заставила меня заняться этим всерьез, включить свои математические знания, в частности некоторые соображения из области функционального анализа.
Речь идет о классе задач на экстремум, в которых точка экстремума лежит на границе рассматриваемой области. Такие задачи характерны для экономики. Некоторый экономический процесс описывается двумя векторами: x 
X - результаты процесса и у Y - используемые ресурсы, Х и У-некоторые линейные пространства.
X - результаты процесса и у Y - используемые ресурсы, Х и У-некоторые линейные пространства.
Рассматривается множество реализуемых процессов Т. Каждому значению параметра t T отвечает некоторый процесс, характеризуемый его затратами и результатом (xi, yi). Множество {(xt, yt): t T} предполагается выпуклым, т. е. вместе с каждой парой процессов в него входит и их усреднение. Точка (xt, yt) называется экстремальным состоянием процесса, если пересечение конуса положительных элементов с вершиной в этой точке с множеством {(xt, yt): t T} пусто. Экономически это означает, что не существует вариантов процесса, в котором и результаты были больше х ≥ x0, и затраты меньше y ≤ y0.
T отвечает некоторый процесс, характеризуемый его затратами и результатом (xi, yi). Множество {(xt, yt): t T} предполагается выпуклым, т. е. вместе с каждой парой процессов в него входит и их усреднение. Точка (xt, yt) называется экстремальным состоянием процесса, если пересечение конуса положительных элементов с вершиной в этой точке с множеством {(xt, yt): t T} пусто. Экономически это означает, что не существует вариантов процесса, в котором и результаты были больше х ≥ x0, и затраты меньше y ≤ y0.
Каждому эстремальному состоянию отвечает некоторый линейный функционал, достигающий экстремума в этой точке,- опорная плоскость, отделяющая эту точку от внутренних. Если написать какое-либо нормированное уравнение этой гиперплоскости, то каждой точке ж, у отвечают некоторые числа ξ η, причем ξx+ηy=0.
Таким образом, каждой экстремальной точке x0, y0 отвечает двойственная ей система чисел ξ0, η0, которые можно назвать оценками отдельных координат в пространствах Х и Y. Этими оценками крайние точки (или экстремальные состояния) вполне характеризуются - каждому виду конечных результатов и каждому виду затрат ресурсов соответствует своя оценка. Наличие для данного варианта процесса такой системы оценок является свидетельством его экстремальности, неулучшаемости в данных условиях, т. е. при данных ресурсах и заданных конечных результатах. Отсюда вытекает также алгорифм нахождения экстремального состояния процесса: если мы имеем некоторый вариант, пытаемся для него определить эти оценки и их не обнаруживается, то естественно указать путь, направление сдвига к внутренним точкам, дающее в каком-то смысле градиентное направление перехода к лучшему состоянию и, таким образом, последовательными улучшениями перейти к нужному решению.
Я описал общую задачу. Отметим два важных частных случая, когда отображение t →(xt, yt) линейно. Если требуется найти экстремальное состояние при данных ресурсах и заданном ассортименте конечной продукции, т. е. требуется определить на луче, исходящем из поверхности данных ресурсов, крайнюю точку, то это так называемая основная производственная задача. Если при данном конечном задании требуется получить результат с наименьшей затратой ресурсов, в векторной форме или в виде их линейной комбинации, то это основная задача линейного программирования.
Насколько мне помнится, в январе 1939 г. мной был создан метод разрешающих множителей, в котором решение самой системы в каком-то смысле заменялось, объединялось с задачей нахождения некоторых множителей, оценок, соответствующих каждому виду продукции. Созданный метод отличался тесным объединением процессов решения прямой и двойственной задач, он был похож на алгоритм, разработанный много позднее Дандигом, Фордом и Фулкерсоном.18
Стала ясной и разрешимость этих задач, и большое их распространение, поэтому на. обсуждение моего доклада в университете были приглашены представители промышленности. Этот доклад составил основное содержание брошюры "Математические методы организации и планирования производства" [1 (1939) ]. Аналогичный доклад, относящийся специально к строительному производству, я сделал в Строительном институте. Университет в срочном порядке выпустил мою брошюру, которая была разослана 50 наркоматам. Она была распространена только в нашей стране, так как вышла уже в последние дни перед началом второй мировой войны тиражом всего в 1 тыс. экземпляров.
Число откликов было невелико. Был довольно содержательный отзыв из Наркомата путей сообщения, в котором рассматривались некоторые оптимизационные задачи, направленные на уменьшение пробега вагонов, и была положительная рецензия на брошюру в журнале "Лесная промышленность".
В начале 1940 г. я опубликовал чисто математическую версию этой работы в Докладах АН [1(1940)], выраженную в терминах функционального анализа и алгебраических. Однако не сделал в лей даже ссылки на свою вышедшую брошюру: учитывая международную обстановку, я не хотел, чтобы та моя практическая работа была использована вне страны...
Весной 1939 г. я сделал еще несколько докладов - в Политехническом институте и Доме ученых, но несколько раз встречался с возражениями, что в работе используются математические методы, а математическая школа в экономике на Западе считалась у нас в то время антимарксистской школой и использование математики в экономике рассматривалось как средство апологетики капитализма. Это вынудило меня при написании брошюры по возможности избегать термина "экономическое", а говорить об организации и планировании производства; роль и смысл разрешающих множителей пришлось дать где-то в конце второго приложения и полуэзоповским языком.
В моей брошюре 1939 г. был описан широкий круг задач - размещение производства, распределение работ, рациональный Раскрой материалов, рассмотрены некоторые транспортные задачи и т. д., т. е. практически весь круг задач линейного программирования на низовом уровне. Дж. Данциг в книге "Линейное программирование, его обобщения и применения"19 отмечает, что мной была описана почти вся область применения линейного программирования, которая была известна в США лишь к 1960 г. Рассмотрение мною задач лишь низового уровня было отчасти связано с теми небезопасными возражениями, о которых я уже говорил выше.
Одновременно, развивая модели и осмысливая их в болел крупномасштабных задачах планирования, я стал ясно понимать значение этих моделей для разработки принципов ценообразования, оценки эффективности, во всяком случае эффективности капиталовложений, т. е. в основных чертах создавалась теория линейной экономики социалистического хозяйства, выраженная математическим языком.
В какой-то мере были затронуты и задачи нелинейного программирования, но мое внимание было сосредоточено на раскрытии понятий и количественных соотношений основных характеристик социалистической экономики, хотя были видны и возможности применения разработанного аппарата и к некоторым математическим проблемам, например аппроксимации функций, но я считал, что сейчас это имеет второстепенное значение.
В то время мной был написан ряд остающихся неизданными статей и рукописей на эту тему. Об этом круге прикладных проблем я докладывал в Москве, в Математическом институте, и доклад вызвал большой интерес. В частности, при решении вопросов о создании ЛОМИ (ленинградского отделения Математического института) наличие широкого комплекса прикладных задач сыграло определенную роль-ЛОМИ было открыто в март 1940 г.
Первый из работ в этой области, выполненной в ЛОМИ, стала совместная работа по транспортной задаче с недавно защитившим кандидатскую диссертацию М. К. Гавуриным. Эта задача у нас возникла сама собой, но вскоре мы узнали, что рациональным планированием перевозок на железнодорожном транспорте применительно к вопросам перегона порожняка и перевозок тяжелых грузов железнодорожники уже занимались. На эту тему имелась брошюра А. Н. Толстого,20 и были некоторые попытки внедрения этой работы со стороны соответствующего отдела Наркомата путей сообщений. Однако ни математической формулировки задачи, ни эффективного метода ее решения не было (в 1941 г. Ф. Л. Хичкоком было дано математическое описание задач, но без ее анализа и указания путей решения).
В моей работе с М. К. Гавуриным в развернутой форме были даны эффективные методы решения задачи (это был некоторый вариант метода разрешающих множителей, но специальный - метод потенциалов), критерий оптимальности решения; поставлены некоторые более общие задачи, в то время нерешаемые при имевшихся математических средствах. Был раскрыт экономический смысл этих параметров как территориальных цен для данного груза, рассматривалась и задача рационального размещения производства. В печатном виде наша работа была сильно сокращена по сравнению с рукописным вариантом, который, к сожалению, утерян. В январе 1941 г. эта работа была доложена на математической секции Ленинградского Дома ученых.21
Публикация работы встретила большие затруднения. Она была сдана в печать еще в 1940 г. в журнал "Железнодорожный транспорт", по из-за математикобоязни ни в нем, ни в каком-либо другом журнале напечатана не была, несмотря на поддержку академиков А. Н. Колмогорова и В. Н. Образцова, известного транспортника, генерал-директора движения I ранга.
К счастью, я сделал абстрактный вариант этой задачи - заметку о перемещении масс в компактном метрическом пространстве, в которой был критерий и метод потенциалов. В конце приводились две задачи - задача о железнодорожных перевозках (со ссылкой на находящуюся в печати нашу с М. К. Гавуриным статью) и задача выравнивания площади аэродрома, которая тоже носит прикладной характер. Эта работа, опубликованная в 1942 г. на русском и английском языках, была первой, из которой специалисты на Западе узнали о моих работах по линейному программированию, но это произошло только в начале 50-х годов [1(1942)].22
Примерно такая же судьба постигла и мою работу о трехмерном рациональном раскрое древесины на пиловочник наиболее высокой ценности. Она пролежала в редакции журнала "Лесная промышленность" до 1949 г. и только тогда вышла в свет 12(1949)],-это был год, когда я. правда, за другие работы, получил Сталинскую премию.
Примерно к лету 40-го года относится мое знакомство с Виктором Валентиновичем Новожиловым, одним из наиболее квалифицированных экономистов-статистиков страны, имевшим дореволюционное экономическое образование и хорошую математическую подготовку. Он работал в Политехническом институте и занимался задачей наиболее эффективного использования капиталовложений, рассматривая ее как экстремальную; математически задача не очень интересна, потому что в ней рассматривался однопараметрпческий случай и задача решается введением одного разрешающего множителя. Но во всяком случае знание экономической теории и практический опыт у В. В. Новожилова были большие. Вообще В. В. Новожилов был экономистом широкого профиля и интересовался многими задачами. Наше знакомство состоялось по инициативе Виктора Валентиновича, на которого Моя брошюра произвела большое впечатление: использование нескольких разрешающих множителей позволило ему дать более Широкие постановки задач, которыми он раньше занимался.
В 1940-1941 гг. нами был проведен совместный семинар в Политехническом институте с участием ряда молодых сотрудников Института, где В. В. Новожилов и я сделали серию докладов относящихся к описанию конкретных задач социалистической экономики. Доклады проходили с интересными дискуссиями. Мне помнится, что тогда же состоялась защита докторской диссертации В. В. Новожилова, причем главным оппонентом выступал академик С. Г. Струмилин, который хотя и подверг резкой критике математический подход, но все же оценил высокий уровень исследования и высказался за присуждение ученой степени...
После выезда из Ленинграда в январе 1942 г. в Ярославль, куда было переведено БИТУ, в какой-то мере возобновилась регулярная деятельность - лекции и исследовательская работа. Именно в то время мной была написана большая рукопись "Экономический расчет наиболее целесообразного использования ресурсов", название которой я несколько потом изменил. Этот труд при поддержке академика С. Л. Соболева, бывшего тогда депутатом Верховного Совета РСФСР, был направлен в Госплан СССР и рассмотрен некоторыми его руководителями - В. Н. Старовским, Г. П. Косяченко, заместителем председателя Госплана, но не встретил одобрения. В то же время я докладывал об этой работе в Москве в Институте экономики АН СССР на семинаре под председательством К. В. Островитянова. В обсуждении участвовали видные экономисты - З. В. Атлас, А. И. Ноткин и др. Нужно сказать, что и в Госплане СССР, и в Институте экономики обсуждение было временами достаточно острым.
В связи с обсуждением моей работы один из авторитетных статистиков, Б. С. Ястремский в то время сказал: "Канторович предлагает оптимум, а кто еще предлагает оптимум? Парето, любимец Муссолини".
Докладывал я свою работу и в Казани, куда в те годы были эвакуированы МИАН и ЛОМИ. Тогда я познакомился с некоторыми экономистами. Кое-кто решался читать рукопись, но после прочтения при встрече даже сторонился меня.
Нужно сказать, что инженеры отнеслись к моей работе совершенно иначе. Так, техническая организация, где я в то время (1943 г.) работал, даже выдвинула работу на Сталинскую премию. Но, так как эта организация не была достаточно компетентной в подобного рода вопросах, предполагалось представить работу через Ленинградский университет. Обратились к профессору Г. М. Фихтенгольцу, который ознакомил с моей работой ректора ЛГУ - А. А. Вознесенского. Прозондировав почву в Москве, ректор решительно отверг такую возможность по причине "апологетического характера работ математического направления".
Все говорило о том, что необходимо на некоторое время оставить эти работы, поскольку их продолжение становилось опасным, и, как я узнал впоследствии, мои предположения были небезосновательными: вариант моей изоляции обсуждался всерьез. Конечно, это было жестоким ударом для меня, так как я возлагал большие надежды на работы в этом направлении. Некоторое время я даже находился в состоянии депрессии - стал сомневаться, смогу ли успешно заниматься наукой, ведь экономико-математические работы необходимо было отложить, а в математике я за это время отстал.
В последние месяцы войны я с училищем, в котором работал, вернулся в Ленинград и сразу же возобновил свою работу в Университете; с ЛОМИ было труднее, так как чувства Ивана Матвеевича Виноградова - директора института, ко мне явно переменились.
Любопытно, что в середине 50-х годов мои работы вновь были направлены в Госплан СССР и в другие хозяйственные органы и были приняты почти также, правда, может быть, не столь жестко.
Приложение 1 к главе I
Перечень всесоюзных конференций и совещаний, проведенных Научным советом АН СССР по транспорту по инициативе и под научным руководством Л. В. Канторовича с 1977 по 1986 г.
1. Формирование и развитие сети путей сообщений единой транспортной системы (Свердловск, 1977).
2. Организация и развитие системы пассажирских сообщений СССР (Рига, 1979).
3. Развитие производительных сил Сибири - секция "Транспорт" (Новосибирск, 1981).
4. Проблемы комплексного развития транспортной системы Прибалтийского экономического района (Вильнюс, 1981).
5. Транспортно-экономичсские связи и размещение производства (Алма-Ата, 1983).
6. Развитие производительных сил Сибири и задачи ускорения НТП - секция "Транспорт" (Новосибирск, 1985).
7. Строительство железных и автомобильных дорог в программе развития единой транспортной сети Сибири (Новосибирск, 1986).
8. Совершенствование системы пассажирских сообщений крупных городов и агломераций (Ленинград, 1986).
9. Пути интенсификации транспортного процесса на основе совершенствования традиционных и создания новых транспортно-технологических систем (Одесса, 1986).
Приложение 2 к главе I
Сведения об ученых и специалистах, названных в разделах 2 и 3 вводной главы
Александров Георгий Федорович (1908-1961) - философ, академик АН СССР (1946), в 1940-1947 гг.- начальник Управления пропаганды и агитации Ц" ВКП(б), 1954-1955 гг.- министр культуры СССР.
Амбарцумян Гоарик Амазасповна (1907-1979) - математик, кандидат физ.-мат. наук, доцент Ереванского политехнического института.
Атлас Захарий Васильевич (1892-1969) - экономист, доктор экон. наук.
Бардин Иван Павлович (1883-1960) - крупнейший ученый-металлург, академик, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственных премий.
Виноградов Иван Матвеевич (1891-1983) - математик, академик АН СССР директор Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова, профессор Ленинградского политехнического института, дважды Герой Социалистического Труда.
Вознесенский Александр Алексеевич (1898-1950) - экономист, профессор, ректор Ленинградского ун-та, брат Н. А. Вознесенского. Репрессирован в 1949 г.
Вознесенский Николай Алексеевич (1903-1950) - советский государственный и партийный деятель, академик АН СССР, председатель Госплана СССР (1938-1945), член Политбюро ЦК КПСС (1947), лауреат Государственной премии СССР.
Гавурин Марк Константинович (р. 1911) - доктор физико-математических наук, профессор ЛГУ, ученик Л. В. Канторовича.
Галеркин Борис Григорьевич (1871-1945) - ученый-механик, академик, лауреат Государственной премии СССР. Труды по теории упругости и строительной механике. Наиболее знаменит в вычислительной математике благодаря "методу Галеркина".
Гатовский Лев Маркович (р. 1903) - экономист, член-корреспондент АН СССР (1960), в конце 50 - начале 60-х годов - главный редактор журнала "Вопросы экономики".
Гюнтер Николай Максимович (1871-1941) - математик, член-корреспондент АН СССР, с 1894 г. работал в Петербургском, затем в Ленинградском государственном университете.
Делоне Борис Николаевич (1890-1980) -математик, специалист в области теории чисел, член-корреспондент АН СССР, профессор ЛГУ, а затем МГУ.
Колмогоров Андрей Николаевич (1903-1987) - математик, академик АН СССР, дважды Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий.
Косяченко Григорий Петрович (1901-1983) -кандидат экон. наук, профессор, зам. пред. Госплана СССР (1940-1957).
Крылов Алексей Николаевич (1863-1945) - кораблестроитель, механик и математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии СССР.
Крылов Владимир Иванович (р. 1902) - специалист в области вычислительной математики, академик АН БССР.
Кузьмин Родион Осиевич (1891-1949) - математик, член-корреспондент АН СССР, профессор Ленинградского политехнического института и ЛГУ.
Лаврентьев Михаил Алексеевич (1900-1980) -математик и механик, академик АН СССР и АН УССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР.
Ливенсон Евгений Максимилианович (1907-1942) -кандидат физико-математических наук, работал в ЛГУ и ЛОМИ АН СССР.
Ляпунов Александр Михайлович (1857-1918) -математик и механик, академик (1901), создатель теории устойчивости движения механических систем.
Ляпунов Алексей Андреевич (1911-1973) - математик, член-корреспондент АН СССР, профессор МГУ, один из близких друзей Л. В. Канторовича.
Марков Андрей Андреевич (ст.) (1856-1922) -математик, академик (1890). Наиболее известны труды по теории вероятностей (цепи Маркова), теория чисел и математическому анализу.
Марков Андрей Андреевич (1903-1979) - математик, член-корреспондент АН СССР, работал в ЛГУ и МИАН СССР, друг Л. В. Канторовича.
Митин Марк Борисович (р. 1901) - философ, академик АН СССР, основные труды по диалектическому и историческому материализму, критике буржуазной философии и оппортунизма.
Михлин Соломон Григорьевич (р. 1908) - математик, профессор ЛГУ.
Натансон Исидор Павлович (1906-1964) - математик, профессор ЛГУ, автор известного курса теории функции вещественной переменной, друг Л. В. Канторовича.
Немчинов Василий Сергеевич (1894-1964) - экономист, статистик, академик АН СССР, лауреат (1965 г., совместно с Л. В. Канторовичем) и Государственной премий СССР, в 1959 г. совместно с Л. В. Канторовичем возглавлял созданную ими Лабораторию по применению статистических и математических методов в экономике.
Несмеянов Александр Николаевич (1899-1980) - химик-органик, академик я президент (1951-1961) АН СССР, Герой Социалистического Труда.
Новожилов Виктор Валентинович (1892-1970) - экономист, доктор экономических наук, лауреат Ленинской премии (1965 г., совместно с Л.В.Канторовичем и В. С. Немчиновым).
Ноткин Александр Ильич (1901-1982) - экономист, член-корреспондент АН СССР.
Образцов Владимир Николаевич (1874-1949) - специалист в области проектирования, строительства и эксплуатации железных дорог, академик АН СССР, лауреат Государственной премии СССР.
Островитянов Константин Васильевич (1892-1969) - экономист, академик АН СССР.
Павловский Евгений Никанорович (1884-1965) -паразитолог, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда.
Смирнов Владимир Иванович (1887-1974) - математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии СССР, автор известного "Курса высшей математики".
Смирнов Николай Васильевич (1900-1966) - математик, специалист в области математической статистики, член-корреспондент АН СССР, лауреат Государственной премии.
Соболев Сергей Львович (р. 1908 г.) - математик и механик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР.
Спиридонова Мария Александровна (1884-1941) -один из лидеров партии левых эсеров, в 1918 г. приговорена к году лишения свободы и тут же амнистирована. Находилась в ссылке в Ташкенте, Уфе. Расстреляна в 1941 г.
Старовский Владимир Никонович (1905-1975) - советский государственный Деятель, член-корреспондент АН СССР, в 1940-1948 гг. - начальник ЦСУ СССР и заместитель председателя Госплана СССР.
Стеклов Владимир Андреевич (1863/64-1926) - математик, академик АН СССР, вице-президент АН СССР (1919-1926), организатор и директор (1921- 1926) Физико-математического института АН СССР.
Степанов Вячеслав Васильевич (1889-1950) - математик, член-корреспондент АН СССР, профессор МГУ.
Струмилин Станислав Густавович (1877-1974) - экономист и статистик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий.
Тартаковский Владимир Абрамович (1901-1973) - доктор физико-математических наук, профессор, с 1930 г. работал в ЛГУ.
Топчиев Александр Васильевич (1907-1962) -химик, академик и вице-президент (с 1958 г.) АН СССР.
Фаддеева (Замятина) Вера Николаевна (1906-1983) -кандидат физико-математических наук, специалист в области вычислительной математика в течение многих лет друг и сотрудник Л. В. Канторовича по ЛОМИ ДЦ СССР, жена Д. К. Фаддеева.
Фаддеев Дмитрий Константинович (р. 1907) - математик, член-корреспондент АН СССР, профессор ЛГУ.
Фихтенголъц Григорий Михайлович (1888-1959) - математик, профессор ЛГУ, автор известного "Курса дифференциального и интегрального исчисления", заслуженный деятель науки РСФСР; под руководством Г. М. Фихтенгольца Л. В. Канторович начал свою научную работу.
Христианович Сергей Александрович (р. 1908) - специалист в области механики, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии СССР.
Ястремский Борис Сергеевич (1877-1960) - экономист, доктор экономических паук, профессор МГУ, с 1918 г. работал в ЦСУ.
3. Математика в экономике: достижения, трудности, перспективы23
Господин председатель, дамы и господа! Я глубоко взволнован той высокой честью, которая выпала на мою долю, и счастлив предоставленной мне возможностью выступить перед вами в качестве участника этого почетного цикла лекций.
В настоящее время математика так прочно, широко и разнообразно вошла в экономику, с выбранной темой связан столь обширный круг проблем и фактов, что попытка изложить такую тему в одной лекции невольно заставляет вспомнить популярный в нашей стране афоризм Козьмы Пруткова: "Нельзя объять необъятное". Поэтому я остановлюсь по преимуществу на оптимизационных моделях и их использовании в управлении экономикой с целью наилучшего использования ресурсов и достижения наибольших результатов. При этом я буду касаться в основном проблем. а также опыта, относящегося к плановой, особенно к советской, экономике. Конечно, и в этих рамках мне удастся остановиться лишь на немногих вопросах.
Особенности рассматриваемых проблем
Прежде чем говорить о методах, я думаю, полезно отметить специфические особенности советской экономики и стоящих перед ней задач. Впервые в истории все основные средства производства страны стали у нас всенародной собственностью. Возникла необходимость централизованного и единого управления огромной страной.
В соответствии с этим изменилась основная цель экономической науки. Потребовалось перейти от изучения и наблюдения происходящих в экономике процессов и единичных индикативных воздействий на нее к конкретному управлению ею, единому планированию, исходящему из единых целей, охватывающему длительную перспективу и вместе с тем доведенному до конкретных заданий отдельным предприятиям на конкретные сроки со взаимным согласованием этого гигантского множества решений. проблема планирования в таких масштабах возникла впервые и не могла опираться на существовавшую экономическую теорию и опыт.
От экономической науки требовалось также, чтобы она, нападу с решением общеэкономических вопросов, относящихся к народному хозяйству в целом, создавала базу для решений, приложимых к отдельным объектам и мероприятиям. Причем информация и методология должны были обеспечивать выбор решений у соответствии с общими целями и интересами народного хозяйства. Наконец, это должны были быть не общие качественные рекомендации, а конкретные количественные расчетные методы,. обеспечивающие объективный выбор хозяйственного решения.
В экономике капиталистического хозяйства наряду с материальными потоками и фондами изучаются и непосредственно наблюдаются в их статике и динамике такие важные экономические показатели, как цены, рента, арендные платежи, процент на капитал. Эти показатели служат базой для экономических расчетов, агрегирования, построения синтетических показателей.
В условиях последовательного планирования хозяйства также выявилась необходимость использования показателей, характеризующих подобные аспекты социалистической экономики. Они не могли быть получены эмпирическим путем. Возникла проблема их расчета и исчисления, которая, однако, не ограничивается технической расчетно-статистической стороной. Дело в том, что с изменением социально-экономических условий сами показатели приобрели совершенно иной смысл и значение, возник ряд проблем, касающихся их природы, роли и структуры. Например, было неясно, должна ли в обществе, где земля является всенародной собственностью, существовать земельная рента, имеет ли право на существование показатель типа процента на капитал.
Две предыдущие проблемы проявляются вместе еще в одной особенности плановой экономики. Очевидно, что в экономике такого масштаба и сложности немыслимо полностью централизованное управление, как говорят, "до последнего гвоздя", и значительная часть решений оставляется за низшими уровнями Управления. При этом решения, принимаемые на разных уровнях и в разных местах, должны быть согласованы между собой балансовыми материальными соотношениями и следовать основным народнохозяйственным целям. Задача заключается в том, чтобы создать систему информации, отчетности, показателей и экономических стимулов, которая позволяла бы локальному органу Управления оценить выгодность тех или иных его решений с точки зрения хозяйства в целом, делала бы для него выгодным то, что выгодно для системы, допускала возможность контроля правильности административной и хозяйственной деятельности также с народнохозяйственных позиций.
Новые задачи и методы управления экономикой поставили вопрос о наиболее эффективных структурных формах организации управления народным хозяйством. Неоднократно осуществляющиеся изменения этих форм связаны как со стремлением к совершенствованию управления, так и с изменениями в самом хозяйстве, увеличением его масштабов, усложнением взаимосвязей, новыми возможностями и требованиями. Проблема наиболее действенной структуры управления также имеет научный аспект. но в этом отношении она еще мало продвинута.
Существенное воздействие на экономическое управление оказывает современная научно-техническая революция. Возникли проблемы прогнозирования и управления в условиях быстрой смены продукции и технологии, изменения соотношения различных отраслей в структуре национальной экономики. Проблемы оценки технических нововведений и общего эффекта технического прогресса. Проблемы экологии, связанные с коренными изменениями природной среды под влиянием человеческой деятельности, возможностью исчерпания природных ресурсов. Прогноз социальных изменений и учет их влияния на экономику. Изменения механизма управления в условиях применения современной электронно-вычислительной техники, средств связи, оргтехники и т. д. Большинство этих проблем возникает и в странах частного предпринимательства, однако в социалистическом хозяйстве они имеют свои трудности и специфические аспекты.
Экономическая теория Карла Маркса стала методологической основой советской экономической науки и системы управления; оказалось возможным применить непосредственно к социалистическому хозяйству ряд принципиальных ее положений, характеризующих общие экономические закономерности. Однако практическое использование идей Маркса в социалистической экономике требовало еще больших теоретических разработок. Не было и практического опыта хозяйствования в новых условиях.
Органам Советской власти, хозяйственным работникам пришлось начинать строить социалистическую экономику в трудных условиях разрухи и гражданской войны, а затем послевоенного восстановления. Тем не менее удалось создать достаточно действенный экономический механизм. Не имея возможности останавливаться на этом подробнее, укажем на создание по инициативе основателя нашего государства В. И. Ленина системы государственных плановых органов, а также на введение системы хозяйственного расчета, благодаря которой была обеспечена финансовая форма балансирования и контроля деятельности отдельных хозяйственных, единиц.
Свидетельством значительной эффективности механизма управления советской экономикой являются большие сдвиги в развитии хозяйства, успешное решение проблемы индустриализации. проблемы экономического обеспечения обороноспособности страны накануне и в ходе войны с фашизмом, а также в период послевоенного восстановления и в последующие годы.
Деятельность плановых и экономических органов развивалась. g изменялась в связи с вновь возникающими задачами. Обобщение этого опыта привело к созданию определенного задела экономической теории социалистического планового хозяйства.
В то же время в пашей стране неоднократно обращалось внимание на необходимость дальнейшего совершенствования механизма управления, па наличие значительных неиспользованных резервов, на неполную реализацию потенциальных преимуществ плановой системы хозяйствования. Такое совершенствование потребовало разработки новых подходов и средств. Задача повышения качества и точности планирования вызывала естественную мысль о более широком привлечении количественных математических методов.
Новые методы
Первые попытки использования математики в советских экономических исследованиях относятся еще к 20-м годам. Можно назвать известные и на Западе работы Е. Слуцкого и А. Конюса по моделям потребления, первые модели роста Г. Фельдмана,, шахматный балансовый анализ экономики, выполненный в Центральном статистическом управлении, позднее математизированный и существенно теоретически развитый на материале экономики США В. Леонтьевым, попытку Л. Юшкова определить норматив эффективности капитальных вложений, получившую глубокое развитие в работах В. Новожилова. Эти работы частично перекликались с одновременно развивавшимся математическим направлением в экономике, представленным работами Р. Харрода, Е. Домара, Ф. Рамсея, А. Вальда, Дж. фон Неймана, Дж. Хикса и др.
Здесь я хочу говорить преимущественно об оптимизационных моделях, появившихся у пас в конце 30-х годов (а затем, независимо от нас, в США), которые в известном смысле оказались наиболее подходящим средством для решения перечисленных проблем.
Хотелось бы особо подчеркнуть принципиальное значение оптимизационного подхода. Рассмотрение экономики как единой системы, управляемой единой администрацией и подчиненной единой цели, дало средство эффективной организации гигантского информационного материала, содержательного его анализа и обоснованного выбора решений. Тем интереснее, что многие выводы остаются в силе и в тех случаях, когда единую цель не Удается явно сформулировать по тон причине, что она не ясна, или по той, что имеется много целей, каждая из которых должна Учитываться.
Пока наиболее широко используется многомерная линейная оптимизационная модель, которая получила, пожалуй, не меньше распространение в экономике, чем, скажем, Лагранжевы уравнения движения в механике. Эти модели базируются на описании экономической системы как совокупности основных производственных способов (или активностей, по терминологии профессора Т. Ф. Купманса), характеризующихся затратой или производством тех или иных продуктов или ресурсов. Хорошо известно, что задача нахождения оптимального плана, т. е. набора интенсивностей этих способов, удовлетворяющих ограниченно по имеющимся ресурсам и по плановым заданиям, сводится к максимизации линейной функции от переменных, подчиненных линейным ограничениям.
Это объяснение столько раз описывалось, что может считаться общеизвестным. Важнее указать те свойства модели, которые определили такое широкое и разнообразное ее использование Мы назвали бы следующие особенности.
Универсальность и гибкость. Структура модели допускает разнообразные формы ее применения. Это позволяет описывать с ее помощью весьма различные реальные ситуации из сама" разнообразных областей хозяйства и на разных уровнях управления. Можно рассматривать последовательности моделей, в которых необходимые ограничения и условия вводятся постепенно пока не будет достигнута требуемая точность описания. В более сложных случаях, когда гипотезы линейности существенно противоречат специфике задачи и требуется учесть нелинейность подходов и затрат, неделимость решений или неопределенность информации, линейная модель оказывается хорошим "элементарным блоком" и основой обобщений.
Простота и доступность. Несмотря на универсальность и хорошую точность, модель линейного программирования использует весьма элементарный инструментарий линейной алгебры и понимание и овладение ею доступно людям с очень скромной математической подготовкой. В данном случае это очень важно для творческого, а не шаблонного использования предлагаемых моделью средств анализа.
Эффективная расчетная разрешимость. Актуальность решения экстремальных линейных задач побудила к разработке специальных весьма эффективных методов, созданных в СССР (метод последовательного улучшения плана, метод разрешающих множителей) и в США (большую популярность снискал симплекс-метод Дж. Данцига), а также развернутой теории этих методов. Алгоритмический характер этих методов позволил в дальнейшем легко реализовать их на ЭВМ. С помощью современных машин и нынешних разновидностей этих методов в короткие сроки решаются задачи с сотнями и тысячами ограничений, с десятками и сотнями переменных.
Качественный анализ, показатели. Наряду с оптимальным плановым решением анализ модели дает ценные средства качественного анализа конкретной задачи и проблемы в целом. Такая возможность обеспечивается системой численных характеристик для способов и ограничивающих факторов, которые находятся одновременно с оптимальным решением и согласованы с ним. Профессор Купманс назвал их теневыми ценами, мною они названы разрешающими множителями в связи с тем, что подобно множителям Лагранжа их использовали как вспомогательное средство при нахождении решения. Однако вскоре был обнаружен их экономический смысл и значение для анализа, и при экономической трактовке они были названы объективно условленными оценками. Они имеют смысл определяемых внутренне, в данной задаче, ценностных характеристик эквивалентности различных продуктов и факторов, по которым они взаимозаменяются при переходе из одного экстремального состояния в другое, близкое. Таким образом, эти характеристики указывают объективный путь расчета цен и других экономических показателей, а также анализа их структуры.
Соответствие средств проблематике
Хотя модели такого типа успешно используются фирмами, а иногда и государственными учреждениями капиталистических государств, все же по духу они наиболее соответствуют проблемам социалистической экономики. Свидетельством эффективности явилось успешное их применение в ряде конкретных задач экономики и исследования операций. Они нашли применение в таких крупномасштабных задачах, как составление перспективных планов развития по ряду отраслей, территориальное размещение сельскохозяйственного производства.
Сейчас речь идет уже о комплексах моделей, включающих модель перспективного планирования народного хозяйства в целом и разрабатываемых в специально созданных больших институтах - Центральном экономико-математическом институте в Москве и Институте экономики и организации промышленного производства в Новосибирске.
Нельзя не отметить и то место, которое заняли оптимальное планирование и математические методы в теоретической проблематике нашей экономической науки. Линейная модель оказалась удобным средством первого логического описания задач планового управления и экономического анализа.
Основанный на ней анализ дал возможность существенно продвинуть проблемы ценообразования, например обосновать необходимость учета фондоемкости в цене, дать подход к количественному учету фактора времени. Отметим, что модель, описывающая простую экономическую характеристику, нередко оказывалась весьма сложной математически. В качестве примера можно назвать модель использования парка оборудования, из которой была получена структура амортизационных отчислений.
Следует особо остановиться на проблеме децентрализованных решений. Анализ комплекса взаимосвязанных моделей двух уровней приводит к выводу о принципиальной возможности значительной децентрализации с соблюдением общих интересов комплекса за счет правильного формирования оценок в локальных моделях. Здесь нужно отметить блестящую математическую идеализацию идеи декомпозиции, проведенную Дж. Данцигом Ф. Вольфом. Значение их замечательной работы 1960 г. далек выходит за рамки предложенного алгоритма и его математического обоснования.
Трудности
Примерно за 15 лет интенсивного развития и распространена" методов линейного программирования мы достигли немало. Тем не менее уровень, достигнутый в особенности в области практического применения, может па первый взгляд вызвать чувств неудовлетворенности. Решение многих проблем не получило завершенности. Многие применения носят пока эпизодический характер, они не стали регулярными и не объединились в систему. В наиболее сложных и перспективных проблемах, таких, как народнохозяйственное планирование, еще не найдены достаточно осуществимые и общеприемлемые формы реализации этих методов. На примере этих методов можно видеть общее правило восприятия многих новшеств: неверие и сопротивление часто сменяется увлечением, а преувеличенные надежды - неудовлетворенностью и разочарованием.
Конечно, можно было бы возразить, что для такого короткого срока результаты совсем неплохи. Можно было бы сослаться пав то, что широкое распространение многих технических новшестве требовало обычно большего срока, или на то, что в физике и в механике не реализованы многие теоретические модели и расчеты, несмотря на двухсотлетний опыт.
Однако мы предпочитаем остановиться на конкретном состоянии дела, чтобы выяснить главные трудности и их причины и наметить пути их преодоления. Эти трудности определяются как самим объектом, так и недостатками в его исследовании и практической реализации. Экономическая материя из-за своей сложности и своеобразия вообще чрезвычайно трудна для моделирования. Любая ее модель выделяет лишь отдельные стороны и весьма грубо и приближенно учитывает реальный экономический фон изучаемого явления; как правило, трудно оцепить оправданность его описания и достоверность полученных из модели выводов.
Поэтому, несмотря на отмеченную универсальность модели, шаблонный подход при моделировании оказывается малоудачным и неэффективным. Разработка каждой серьезной модели и ее практическое использование требуют основательной исследовательской работы, объединенных усилий экономистов, математиков и специалистов данной отрасли. Причем даже в удачных случаях широкое распространение модели требует ряда лет, в частности для отработки и испытания практических методик.
Необходимо сказать еще, что объективно существующее расхождение между моделью и реальностью требует специального контрольного анализа получаемых результатов и корректирования их или самой модели, что не всегда учитывается и осуществляется.
Значительные трудности в реализации модели вызывает получение, а нередко и разработка необходимых информационных данных, которые часто обладают большими погрешностями, иногда и вовсе отсутствуют, так как раньше в них не было нужды. Принципиальные сложности появляются при прогнозах на будущее и при оценке вариантов развития производства.
Численные методы нахождения оптимального решения также имеют свои трудности. Несмотря на имеющиеся эффективные алгоритмы, задачи линейного программирования не так просты, так как практические задачи часто весьма велики по объему. Вычислительные трудности существенно увеличиваются, если печь идет не о модели линейного программирования в чистом виде, а о ее обобщениях.
Мы говорили о том, что теоретически в модели линейного программирования имеется полная согласованность и гармония между оптимальным планом и оценочными показателями и стимулированием, построенными на базе объективно обусловленных оценок. Однако реально решения и деятельность оцениваются не по этим теоретическим оценкам, а по -действующим ценам и характеристикам, изменить которые далеко не просто. Даже если переход к таким показателям будет осуществлен в одной отрасли или районе, скажутся несоответствия в смежных областях. В результате иногда оптимальное решение оказывается невыгодным. Не все области экономической системы в равной мере поддаются математическому описанию и имеют хорошие количественные характеристики. Лучше описывается производство, хуже характеризуются потребности и предпочтения. В то же время, широко ставя задачу оптимизации плана, естественно требовать, чтобы продукция производилась не только с наименьшими затратами, но и чтобы она была оптимальной по составу, давала наилучшее удовлетворение потребностей. Это условие затрудняет выбор правильной целевой функции.
Конечно, положение не безвыходное. Например, достаточно содержательным является понятие экстремального состояния (не допускающее всестороннего улучшения, "эффективное решение", по терминологии А. Вальда). Часто возможно компромиссное совмещение нескольких критериев. Можно быть не столь строгими и производственную часть задачи решить оптимально математически, а потребительскую - традиционными экспертными методами. Можно попытаться использовать эконометрические методы. Такое множество способов показывает, что проблема далека от разрешения.
В планировании идея децентрализации должна сочетаться с методами согласования планов сравнительно автономных частей общей экономической системы. Здесь может использоваться условное разделение системы с фиксацией значений передаваемых из одной системы в другую потоков и параметров. Может использоваться идея последовательного пересчета закрепленных параметров, которую многие авторы успешно развивали для схемы Данцига - Вольфа и для агрегируемых линейных моделей.
Вновь возникающие экономические проблемы, в частности связанные с научно-технической революцией, часто не могут решаться на основе уже имеющихся методов, а требуют новых идей и подходов. Таковы, например, проблемы охраны природной среды. Проблема оценки экономической эффективности технических новшеств и темпов их распространения не может решаться только на основе перспективной оценки непосредственных затрат и результатов, без учета специфических черт нового производства, прямого учета его вклада в технический прогресс.
Расчетные методы, основанные на математических моделях, автоматизация расчетов и обработки информационных данных,- это лишь часть механизма управления, другую часть составляют управленческие решения вне моделей. Поэтому успешность управления зависит от того, насколько в системе обеспечена возможность и заинтересованность в выдаче правильной и полной информации (о производственных мощностях, эффективности различных видов ресурсов и т. д.) в реализации полученных решений. Создание такой заинтересованности, а также системы контроля этих действий представляет нелегкую задачу.
Кроме того, чтобы сделать вообще осуществимым реальное распространение новых методов, необходимо, чтобы они были освоены, изучены лицами, ведущими планово-экономическую работу. Нужны значительные изменения в системе этой работы, преодоление известного психологического барьера, переход от привычных методов работы к новым.
Для этой цели служат различные курсы, на которых плановые работники, вплоть до высших руководящих кадров, знакомятся с новыми методами. Перестройка методов расчетов обычно совмещается с вводом автоматизированных систем управления. Понятно, что такая перестройка методов работы и создания является делом непростым и длительным.
Перспективы
Несмотря на указанные трудности, я смотрю оптимистически на возможность широкого распространения математических методов в экономике, в особенности оптимизационных методов в управлении экономикой на всех уровнях. Нет сомнения в возможности значительного повышения качества экономической работы, достижения лучшего использования ресурсов, повышения роста национального дохода и жизненного уровня за счет этого.
Трудности моделирования и создания необходимой информации могут быть преодолены обогащением арсенала используемых средств, в результате новых оригинальных исследований в экономике, дальнейшего развития математического аппарата, техники, а также сочетания этих средств с интуицией и опытом человеческого разума. Свидетельством возможности преодоления таких трудностей является опыт естественных и технических наук.
Все более интенсивным становится поток исследовании по развитию новых методов и алгоритмов. Появились принципиально новые теоретические подходы и постановки задач, работы по конкретному анализу некоторых общих или отраслевых проблем. Выросла целая армия талантливых молодых исследователей.
Значительный прогресс имеется в развитии и распространении вычислительной техники и методов программирования.
Улучшилось взаимопонимание между экономистами-математиками, экономистами и практическими работниками.
Для преодоления трудностей реализации немаловажным фактором является накопление опыта, широкое ознакомление всех специалистов с новыми методами, а также привлечение к работе кадров, воспитанных на новых методах.
Большое значение для развития новых направлений имеют также важные решения о необходимости совершенствования управления хозяйством с широким использованием математических методов и вычислительной техники, которые в последние годы приняты нашими руководящими органами.
В заключение хотелось бы высказать уверенность, что применение математических методов в экономике оправдает те надежды, которые на него возлагаются, внесет существенный вклад в экономическую теорию и хозяйственную практику.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1 При написании этого раздела редакторы монографии использовали материалы, посвященные Л. В. Канторовичу: Успехи мат. наук (УМН). 1987. Т. 42. Вып. 2 (254). С. 177-182; Наука в Сибири. 1986. 15 мая; Оптимизация: Сб. научных трудов Института математики СО АН СССР: Новосибирск, 1982. │ 28. С. 5-58.-Пpuм. ред.
2 Информация об ученых и специалистах дана в конце первой главы.
3 За работу "Функциональный анализ и прикладная математика".
4 За разработку концепции оптимального планирования социалистической экономики, изложенной в монографии "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов" (М.: Изд-во АН СССР, 1959), переведенной на многие языки мира.
5 Здесь и далее даны ссылки на работы Л. В. Канторовича, хронологический указатель которых приведен в конце монографии.- Прим. ред.
6 Экономика и транспорт // Гудок. 1977. 2 апр. Более 10 лет прошло с тех пор, как было опубликовано это интервью, однако вопрос о необходимости развертывания в АН СССР фундаментальных исследований в области транспорта со временем стал еще более актуальным, особенно п связи с созданием в АН СССР Комиссии по проблемам транспорта и выбором важнейших направлений ее научной деятельности.- Прим. ред.
7 Список совещаний и конференций прилагается в конце главы.
8 Список трудов Л. В. Канторовича прилагается в конце монографии.
9 Названные предложения были частично учтены при подготовке постановления ЦК КПСС и Совета Министров СССР "Об улучшении планирования, организации перевозок народнохозяйственных грузов и пассажиров и усилении воздействия хозяйственного механизма на повышение эффективности работы предприятий и организации транспорта" (Правда. 1982. 14 дек.).- Прим. ред.
10 Основная часть этих предложений включена в соответствующие главы Монографии.- Прим. ред.
11 В 1987 г. в связи с реорганизацией Научного совета АН СССР по транспорту деятельность Сибирского филиала была прекращена.- Прим. ред.
12 Из материалов предполагавшегося доклада Л. В. Канторовича в Московском математическом обществе. В последние месяцы жизни Леонид Витальевич Канторович, будучи тяжело больным, готовил этот доклад для своего выступления в Московском математическом обществе. К сожалению, работа над докладом осталась незаконченной. Текст доклада со слов Леонида Витальевича записал и подготовил к печати Всеволод Леонидович Канторович.
В докладе последовательно и подробно Леонид Витальевич рассказывает о своих научных интересах и достижениях в области развития дескриптивной и конструктивной теории функций, приближенных методах анализа, теории полуупорядоченных пространств, линейного программирования, электронно-вычислительной техники и т. д. Одновременно Леонид Витальевич рассказывает о виднейших отечественных и зарубежных ученых и специалистах, с которыми ему приходилось встречаться, дискутировать, сотрудничать и т. д" приводит интересные факты из своей жизни.
Учитывая тематическую направленность и ограниченный объем настоящей монографии, мы сочли целесообразным включить в нее лишь те фрагменты доклада Л. В. Канторовича, которые касаются его занятий и достижений в области линейного программирования и решения планово-экономических задач, в том числе и транспортных. Полностью этот доклад см.: Успехи мат. наук (УМН). 1987. Т. 42. Вып. 2. С. 183-213.-Прим. ред.
13 Леонид Витальевич поступал в университет в возрасте 14 лет. Поскольку для этого требовалось специальное разрешение, он был уверен, что не принят, и узнал о своем зачислении студентом из следующего письма, полученного 6 ноября 1926 г.: "Вторично. Студенту ЛГУ тов. Канторовичу Л. Правление Ленинградского Госуниверситета извещает, что Вам надлежит пройти комиссию по платности 9 ноября 1926 г. Непрохождение в названный срок повлечет за собой исключение из числа студентов без права восстановления. Одновременно уведомляем, что назначенная плата должна быть Вами внесена не позднее 9/XI 26 г. Невзнос платы вызовет те же последствия, что и неявка на комиссию. Зав. Студ. Отделом".- Прим. В. Л. Канторовича.
14 Краткие сведения о перечисленных в данном и предыдущем разделах специалистах, ученых, государственных деятелях приведены в конце первой главы.
15 Я. В. Успенский - академик, ученик П. Л. Чебышева, специалист в области теории чисел.
16 В 1935 г. Леонид Витальевич тяжело болел, ему был поставлен диагноз кишечный туберкулез, в то время неизлечимая болезнь. Несмотря на это, он работал исключительно интенсивно, надеясь успеть как можно больше продвинуть свои исследования. Он рассказал об этом в 1986 г. во время своей последней болезни, убеждая родных сообщить ему истинный диагноз, а узнав его, вел себя исключительно мужественно, много работал, был неизменно доброжелателен.- Прим. В. Л. Канторовича.
17 В архиве Леонида Витальевича сохранилась относящаяся к 1938 г. рукопись "О некоторых математических проблемах экономики промышленности, сельского хозяйства и транспорта", которая по содержанию, видимо, соответствует упомянутому докладу и где по существу описывается симплекс-метод решения "станочной задачи", т. е. задачи оптимальной загрузки станочного парка.- Прим. В. Л. Канторовича.
18 Данциг Дж. Б., Форд Л. Р., Фулкерсон Д. Б. Алгоритм для решения прямой и двойственной задач линейного программирования // Линейные неравенства и смежные вопросы. М.: ИЛ, 1959. С. 277-286.
