economicus.ru
 Economicus.Ru » Галерея экономистов » Теория игр

Теория игр

Game Theory
 
Источник: Современная экономическая мысль. Серия: "Экономическая мысль Запада". / Ред.: Афанасьева В.С. и Энтова Р.М./ - М., "Прогресс", 1981.
ОПТИМИЗАЦИЯ И ТЕОРИЯ ИГР
Э. Рой Вайнтрауб
Становление неоклассической теории в 30-е годы было связано с исследованиями Джона Р. Хикса и Р. Дж. Аллена, а также методическими разработками Лайонела Роббинса. В основе большинства экономических построений неоклассической теории лежит теория выбора. П. Самуэльсон свел воедино достижения неоклассической теории в своей книге "Основы экономического анализа" ("Foundations of Economic Analysis"), заложив тем самым надежный фундамент для развития прикладной теории.
В самом сжатом виде основную идею неоклассического анализа можно изложить следующим образом. Предполагается, что каждый участник экономического процесса обладает определенными желаниями или предпочтениями относительно исходов своей деятельности. Исходя из своих предпочтений, рационально действующий участник экономического процесса выбирает наилучший среди всех возможных исходов. Однако ограниченность ресурсов налагает ограничения и на множество возможных исходов. Именно ограниченность ресурсов порождает саму проблему экономического выбора.1 Структура произвольной экономической задачи определена, если мы можем указать участников экономического процесса, построить модель их предпочтений и полностью определить ограничения на выбор ими возможных исходов. Экономическая задача оказывается задачей на условный экстремум, или, как ее иначе называют, задачей оптимизации при ограничениях. Решением данной экономической задачи будет такая альтернатива, которая при данных предпочтениях участника экономического процесса является самой предпочтительной из всех возможных (удовлетворяющих ограничениям) альтернатив.2
Формально это можно выразить следующим образом. Пусть имеется множество альтернатив S и участник экономического процесса а, задано отношение предпочтения Ra для и на множестве S и ограничения, которые позволяют выделить некое подмножество С S. Экономическая задача для а состоит в том, чтобы выбрать некий xCS, такой, чтобы х был максимумом Ra на С. Чтобы решить конкретную задачу, необходимы: 1) содержательные экономические предположения, позволяющие четко определить множество альтернатив S; 2) содержательные экономические предположения, позволяющие четко определить отношение предпочтения Rа; 3) содержательные экономические предположения, которые отражают ограничения и позволяют выделить С; 4) методологическое утверждение о том, что в данной задаче действительно можно считать, что участник экономического процесса осуществляет рациональный выбор.
Многообразие задач оптимизации
Экономисты, конечно, давно знали, что можно получить функции спроса, максимизируя функцию полезности при бюджетном ограничении. Неоклассическая теория показала, что подобный принцип имеет всеобщее значение и на его основе можно построить единую экономическую теорию, используя одинаковый подход ко многим экономическим задачам.3 Экономисты старшего поколения полностью схематизировали задачу, введя следующие предположения: 1) множество альтернатив представляет собой множество действительных чисел; 2) предпочтения можно представить в виде непрерывно дифференцируемой действительной функции; 3) ограничения представляют собой линейные уравнения (т. е. бюджетные прямые) и 4) каждый участник экономического процесса действует как homo economicus.
Статическая задача на условный экстремум, задаваемая условиями (1) - (4), обычно решается методом множителей Лагранжа. Если множители Лагранжа умножить на ограничения и прибавить к целевой функции, то задача на условный экстремум превращается в задачу на безусловный экстремум. Методы решения таких задач хорошо известны. Обычно оптимальные решения находят, проверяя "потенциальные" решения, т. е. удовлетворяющие необходимым условиям существования решения (условиям первого порядка). Для решения динамических задач использовалось вариационное исчисление. Цели представлены интегралом (по времени) целевых функций, заданных для каждого момента времени, а ограничения заданы траекториями или решениями дифференциальных уравнений. Задача состоит в том, чтобы найти траекторию, которая оптимизирует целевой функционал.4
Одна из трудностей, возникающих при решении как статических, так и динамических задач на условный экстремум в описанной выше непрерывной постановке, т. е. в виде задачи вариационного исчисления, состоит в том, что для получения конкретного ответа необходимо знать конкретный вид целевой функции. В тех экономических задачах, где пас интересуют исключительно качественные свойства решения, обычно вполне достаточно общего представления о виде целевой функции. Если же мы хотим построить модель конкретной практической задачи, то без конкретных функций полезности нам просто не обойтись.
В конце второй мировой войны и был разработан новый подход к задаче оптимизации при ограничениях для решения практических задач. Метод включал в себя расчет самых оптимальных значений при условии, что: 1) целевая функция линейна на множестве возможных альтернатив; 2) ограничения представляют собой линейные неравенства. Этот метод называется линейным программированием (или анализом деятельности); он оставил заметный след в экономической теории, так как с его помощью удалось связать два вида решений в теории фирмы, которые ранее считались независимыми, а именно: выбор технологии производства и выбор состава и размеров выпуска, обеспечивающих максимальную прибыль.5
Для случая, когда целевую функцию нельзя представить в виде линейной функции, была разработана теория нелинейного программирования, подобного линейному.6 Для решения динамических задач вместо вариационного исчисления стали использоваться в основном современные методы динамического программирования и теории оптимального управления. Теорию оптимизации можно рассматривать как особый раздел математики или же как набор средств, необходимых экономисту-прикладнику, для решения вполне определенных прикладных задач; сегодня не экономисты, а больше всего их коллеги - специалиcты по исследованию операций и управлению производством - нуждаются в улучшении перечисленных методов, которые разрабатывались, чтобы находить ответы на вопросы, поставленные более конкретно, чем нужно экономической теории. Экономическая теория продолжает оставаться качественной наукой, логическим построением.
Теория игр: начальный период
На начальных этапах развития теории игр ее, собственно говоря, рассматривали как обобщение теории оптимизации на случай двух и более участников экономического процесса, причем заданы их предпочтения относительно исходов и ограничения на множество альтернатив каждого из них. Однако подлинное отличие от традиционной теории заключалось в том, что в теории игр учитывается взаимодействие участников экономического процесса и возможность конфликта между ними. Это отличие нашло выражение в целевой функции, которая определяет размер выигрыша в зависимости от выбранного решения: выигрыш одного участника экономического процесса зависит не только от того, какие альтернативы выберет он сам, но и от того, какие альтернативы выберут другие.7
Благодаря этому в экономических исследованиях игровой подход применялся преимущественно для изучения таких экономических проблем, как двусторонняя монополия или олигополия.
Когда ранее предпринимались попытки исследовать средствами традиционной теории подобного рода проблемы с учетом соперничества между фирмами, то неизбежно появлялся тупик: исходы неопределенны, и либо "все может быть", либо приходилось искать объяснения ad hoc. Казалось, что теория игр поможет вырваться из лабиринта запутанных рассуждений ceteris paribus, где ceteris, как все понимали, были далеко не paribus. Теория игр заняла в экономической теории совершенно иное место, нежели это виделось тем, кто приветствовал ее появление на свет, и мало кто помнит, что начиналась она как теория оптимизации в условиях взаимозависимости участников экономического процесса.
Чтобы понять, почему теория игр легла в основу логики исследовании в общественных науках, необходимо представить себе типологию ситуаций, в которых можно использовать теорию игр, и возможности различных разделов этой теории. Этим мы сейчас и займемся.
Типология игр
Проще всего классифицировать игры по числу участников, осуществляющих выбор, который ведет к выигрышу. Хотя некоторые авторы объявляют задачу стохастичееской оптимизации для одного участника экономического процесса игрой одного лица (против Природы, которая ничего не выбирает), собственно типология игр начиная с двух, трех участников и так далее. (Следующий шаг - предположить, что число участников, n, может быть бесконечным.) Оказывается, что для самой теории игр скачок, от двух участников к трем имеет огромное значение, тогда как добавление шестого игрока уже не столь существе"-Этот парадокс объясняется тем, что когда число игроков (возможно, с противоречивыми интересами) больше двух то возникает возможность сговора или образования коалиции: переход от двух игроков к трем заставляет вводить понятие коалиции, а переход от пяти к шести игрокам лишь увеличивает число возможных коалиций.
Игры можно классифицировать иначе: в зависимости от вида выигрыша. Некоторые игры можно представить задачу с постоянным выигрышем: если участники выбирают один набор альтернатив, то выигрыш распределяется одним образом, если же выбирается другой набор альтернатив, тот же выигрыш распределяется иначе. Подобные игры можно привести к такому виду, что общий выигрыш всех игроков будет равен нулю, причем одни игроки получают положительные выигрыши, а другие - отрицательные, так что сумма выигрышей всех игроков равна нулю. Такие игры называются играми с нулевой суммой и отражают суть принципа: "мой проигрыш - ваш выигрыш мой выигрыш - ваш проигрыш"; они действительно представляют собой ситуации чистого конфликта без всяких элементов сотрудничества.
Наконец, рассмотрим некую игру двух или более Сроков с ненулевой суммой, в которой сумма выигрышей соответствующая одному набору выбранных альтернатив больше суммы, соответствующей другому набору. В этом случае один из игроков, возможно, захочет "подкупить" другого, чтобы тот выбрал такую альтернативу, которая дает первую сумму выигрышей. Взятку, конечно, можно выплатить лишь из возможного выигрыша, поэтому выигрыш должен иметь вид, допускающий передачу от одного игрока к другому (наподобие "денег", но не "власти"). Таким образом, можно различать игры с побочными платежами и без них в зависимости от того, можно ли свободно передавать выигрыши от одного игрока к другому.
Игры двух лиц с нулевой суммой
Игры с прямым конфликтом между двумя игроками с точки зрения теории неинтересны, поскольку для всех таких задач всегда существует строго определенное решение. Тем не менее эти игры способствовали развитию двух направлений экономической теории, а именно теории измеримой полезности и теории некооперативного равновесия.8
Для анализа структуры платежей нужно, чтобы выигрыши были каким-то образом измерены, выигрыши должны представлять собой исходы выбора стратегии участниками экономического процесса, вполне определенным образом должны отражать их предпочтения относительно этих исходов. Соответственно на начальной стадии развития теории игр ее создателям пришлось разобраться в старых спорах между экономистами об ординальной и кардинальной полезности. Историческим фактом остается, что решение этой проблемы предложили математики для нужд теории игр. Короче говоря, если заданы предпочтения участников экономического процесса относительно исходов игры и если эти предпочтения удовлетворяют определенным разумным условиям, таким, как транзитивность и полнота, то можно доказать, что существует непрерывная положительная действительная функция, определенная на множестве исходов, которая более предпочтительным исходам ставит в соответствие большие числовые значения. Такую функцию можно назвать функцией полезности: полезность выводится из предпочтений. Далее, эта функция не единственна, она подобна шкале, вроде шкалы температур, которая сохраняет лишь относительные разности. Старая загадка полезности была разрешена признанием того, что: 1) да, полезность можно измерить; но 2) в сущности, теоретически осмысленны только ее порядковые свойства. Так или иначе экономисты могли теперь безбоязненно использовать действительные функции полезности в исследованиях из области теории выбора.
Кроме того, теория простых игр позволила уточнить понятие равновесия - этой жар-птицы экономистов. В играх двух участников с нулевой суммой равновесной стратегией любого участника экономического процесса является такая, которая дает данному участнику наибольший минимальный выигрыш при любой возможной стратегии другого игрока. Такое равновесие консервативно, поскольку участник экономического процесса должен выбирать не ту стратегию, которая приносит ему наибольший выигрыш при неразумном выборе стратегии соперником, а ту стратегию, которая в наибольшей степени предохраняет от потерь в игре с умудренным соперником.
Те же соображения, которые лежат в основе максимального определения равновесия, дают аналитически строгое решение старых проблем дуополии, которое заставляет фирму действовать независимо от поведения конкурента.9 Самое лучшее для каждой фирмы - исходить из того, что соперник может предпринять абсолютно любые действия; тогда каждая фирма стремилась бы максимизировать тот минимальный выигрыш, который можно получить при каждой из возможных стратегий. Короче говоря, понятие равновесного выбора для ситуации, при которой выигрыш А зависит только от выбора А, можно естественным образом распространить на случай, когда выигрыш А зависит не только от его выбора, но и от выбора, осуществляемого В. Это было действительно шагом вперед в развитии экономической теории, так как показано, что само понятие равновесия зависит от конкретных условий и совершенно необязательно всегда связывать его с понятиями предложения и спроса.
Игры двух лиц с ненулевой суммой
Если выигрыши игроков могут быть несимметричны, т. е. выигрыш А не обязательно представляет собой проигрыш В, в выборе стратегий неизбежно присутствуют элементы сотрудничества. Особое внимание экономистов, стремящихся осмыслить явления, действительно привлекли два вида таких игр: дилемма заключенного и задача о сделках.
Особенность дилеммы заключенного состоит в том, что каждый из игроков, А и В, располагает двумя стратегиями, одна из которых кооперативная (С), другая некооперативная (NC). Таким образом, при одновременном выборе стратегии возможны четыре исхода:

 BCBNC
AC4,41,5
ANC5,13,3


Если А и В осуществляют разумный выбор каждый по отдельности, то А следует выбрать стратегию АNC, а не AC, поскольку для него при произвольном выборе В некооперативная стратегия лучше, точно так же должен поступить и В. Каждый игрок получает равновесный выигрыш, равный 3. Но если они выберут АC и ВC, то результат окажется лучше, по Парето, и выигрыш будет равен 4,4; разумное, с точки зрения отдельного индивидуума, поведение дает исход, "неразумный" с общественной точки зрения.10
Эта модель изучалась на раннем этапе развития теории игр и породила многочисленные попытки построить модели экономических проблем: были построены многочисленные примеры, показывающие, что результаты действия рыночного механизма определяются поведением индивидуумов, разумным с точки зрения отдельного индивидуума, но оказываются неэффективными с точки зрения общества, и для достижения лучших, по Парето, результатов необходимо, чтобы государство (или иные организации) воздействовало на выбор, осуществляемый участниками экономического процесса. Короче говоря, дилемма заключенного показала ограниченную дееспособность "не неведомой руки" и, таким образом, помогла понять, почему оправдано существование разнообразных реальных институтов, которые не укладываются в принцип laissez-faire, зато способствуют достижению эффективных результатов.11
Задача о сделках наглядно показывает, почему для случая ненулевой суммы столь важную роль играет возможное сотрудничество игроков. В матричном виде задачу о сделках можно представить следующим образом:

 B1B2
A10,2-2,1
A2-4, -42,0


Здесь ни для A, ни для В не существует стратегии, заведомо разумной с индивидуальной точки зрения, разве что А может выбрать A2, чтобы у В был самое большее нулевой выигрыш, а В может выбрать В2, обеспечив себе по крайней мере неотрицательный выигрыш. Для них обоих будет лучше всего, если они сумеют договориться каким-нибудь образом чередовать наборы стратегий (A1, В1) и (A2, B2). Построив вероятностную модель чередования стратегии, исходы игры можно представить графически (см. рис. 1). Отрезок прямой в первом квадранте на рис. 1 изображает исходы, Парето - эффективные до отношению ко всем возможным исходам, заключенным в четырехугольнике выигрышей. Вопрос, таким образом, только в том, какую точку отрезка (0,2) - (2,0) согласятся выбрать партнеры. Поскольку очевидно, что A1 и B2 представляют собой возможные "стратегии угрозы", обеспечивающие А выигрыш не меньше (-2), а В - не меньше 1, то понятно, что с помощью подобных игр можно моделировать ситуации, когда участники экономического процесса располагают силой и властью, чтобы добиться определенного исхода. Для таких игр были изучены различные состояния равновесия. Для экономистов задача о сделках интересна прежде всего потому, что многие экономические явления представляют собой, по существу, результат переговоров; соответственно из теории подобных игр можно извлечь некие "переговорные переменные", которые позволяют ограничить многообразие состояний равновесия, определяемых из одних только соображений эффективности.12



Кооперативные игры n лиц
Когда число игроков больше двух, игры становятся гораздо содержательнее, поскольку в этом случае могут создаваться коалиции с целью извлечь выгоды из сотрудничества. Основной инструмент исследования подобных ситуаций - характеристическая функция, которая каждой коалиции ставит в соответствие выигрыш, причем выигрыш любой коалиции больше суммы выигрышей отдельных участников коалиции. Сама игра полностью определена, как только задана ее характеристическая функция. Главный интерес представляет понятие равновесного исхода или такого исхода, который нельзя улучшить созданием новых и роспуском существующих коалиций. Более точно, пусть при определенной структуре коалиций осуществляется некий дележ выигрышей между игроками. Другой дележ называется доминирующим, по отношению к данному, если существует коалиция, которая собственными силами может улучшить судьбу своих Участников. Ядро представляет собой множество недоминируемых дележей: таким образом, ядро - это состояние Равновесия. Разумеется, можно предложить и другие понятия равновесия.
Назовем множество дележей решением Неймана - Моргенштерна, если никакие два дележа из этого множества не доминируют друг над другом и если над любым дележом вне этого множества доминирует по крайней мере один дележ из множества.
Практически лишь в последнее десятилетие теория игр n лиц начала играть заметную роль в экономической теории, что объясняется прежде всего слабым развитием теории до тех пор, пока не было разработано определение понятия ядра решения подобного ряда игр. Ядро - понятие экономически содержательное, поскольку представляет собой исход игры, который нельзя улучшить никакой коалицией участников экономического процесса. Ядро представляет собой обобщение понятия Парето - эффективного дележа, поскольку удовлетворяет условию, что не только коалиция всех участников экономического процесса не может улучшить свое положение, но и никакая меньшая коалиция не может увеличить свою долю, предпринимая разрешенные действия.
Таким образом, ядро связано с понятием свободы заключения контрактов или конкуренции, и многие экономические исследования проблем рынка можно изложить в понятиях рыночной игры. Для подобных игр нередко можно показать, что ядро определенным образом связано с конкурентным равновесием при условии, что существует и то и другое.13
Однако возможно, что гораздо больший интерес для экономистов представляют те экономические проблемы, которые можно представить в виде кооперативных игр n лиц, где ядра не существует. Построение ядра можно представить себе следующим образом: сначала просматриваем все дележи, затем отбрасываем те, над которыми доминирует коалиция всех участников экономического процесса (Парето - неэффективные дележи), затем отбрасываем дележи, над которыми доминируют коалиции (n - 1) участников, и т. д. В конце концов у нас остается ядро дележей. Если отбрасывается слишком много дележей, то ядра может и не быть. Следовательно, мы получаем "сильное" понятие равновесия, которое важно для экономических задач, не имеющих решения в виде ядра, поскольку такие случаи означают, что свобода рынка не в состоянии примирить противоречивые устремления участников рынка.14
Поскольку, по определению, ядро - это множество дележей, которые одновременно удовлетворяют всем ограничениям на возможные действия коалиций, отсутствие ядра позволяет сделать выводы об относительной эффективности или разумности той структуры (или игры), которой и определяются ограничения на ядро. Таким образом, понятие ядра может сослужить полезную службу, позволяя a priori оценить, достаточно ли согласованы между собой определенные экономические институты, чтобы решить конкретную проблему, возникающую в условиях рынка.
Теория игр и общее равновесие
Хотя этот факт и нечасто признают экономисты, занимающиеся прикладными исследованиями, в процессе развития теории игр за последние десять лет вся теория общего равновесия была создана заново.15 Новый подход к теории общего равновесия начался с введения большого числа продавцов, каждый из которых обладает предпочтениями и располагает некоторым количеством наличных ресурсов, и с рассмотрения фирм, которые также участвуют в выборе. Предполагается, что экономическая система обеспечивает свободу заключения контрактов или свободу образования коалиций, которые улучшают благосостояние участников экономического процесса; таким образом, разумное хозяйствование (или оптимизация) оказывается частью вопроса об образовании коалиций с целью эффективного перераспределения ресурсов. Хорошо известно, что в подобных экономических системах конкурентное равновесие входит в ядро. Другими словами, распределение благ между продавцами, которое для некоторой системы цен является оптимальным при заданных ограничениях, входит в ядро дележей. Более того, все Дележи, которые обеспечивают такие же выигрыши тем же самым продавцам, тоже входят в ядро.16
Более важно, что по мере того, как рынок становится более "конкурентным" в том смысле, что влияние отдельного субъекта на состояние рынка уменьшается, ядро сужается, однако "конкурентный" дележ продолжает оставаться в ядре. В пределе, когда число продавцов стремится к бесконечности, ядро сходится к конкурентному дележу. В подобных построениях ведущую роль играет понятие конкуренции: так, существование общего равновесия вытекает из строгого определения конкуренции. Напротив конкуренция является естественным понятием, его не надо обосновывать никакими доводами ad hoc. Можно исследовать условия конкуренции как предпосылку, используя результат, который дают подобные модели,- размеры ядра.17
Другие понятия решения в играх n лиц
Понятие ядра связано с понятием сотрудничества. Поскольку в кооперативных играх поведение коалиций связано с сотрудничеством игроков для достижения обоюдной выгоды, то мы вынуждены вновь обратиться к обобщениям понятия разумного поведения отдельного индивидуума. Понятие равновесия, по Нэшу, отражает суть данной проблемы: отдельный участник экономического процесса заранее оценивает свои лучшие возможные действия при заданных (возможно, наносящих ему ущерб) действиях других участников. Данная постановка позволяет рассмотреть многие явления, например неполной информации, "ошибочных" ожиданий" и т. д.18
Более того, именно в кооперативных играх выигрыши отдельных участников экономического процесса a priori не рассматриваются, совсем наоборот: сужается поведение коалиции, которое приводит к коалиционным выигрышам, а распределение выигрышей внутри коалиции оставляется без внимания. Чтобы исследовать подобного рода вопросы, с помощью характеристической функции было построено семейство решений, каждое из которых в отдельности называется "ценой" игры для определенного участника.
Шепли определил цену игры n лиц, грубо говоря, как среднюю по всем коалициям, в которых участвует данный игрок, предельную долю игрока в выигрыше коалиции. И хотя политологи широко используют это понятие при изучении голосования на выборах и процессов принятия групповых решений, экономисты лишь совсем недавно стали применять его в исследовании проблем теории частичного равновесия (например, дуополии) и теории общего равновесия.19
Университет Дюка
ПРИМЕЧАНИЯ:
1 См.: Robbins L. An Eussay on the Nature and Significance of Economic Science. London Macmillan & Co., 1932.
2 Великолепное изложение основ теории выбора дано в кн.: W а 1 s h V. С. introduction to Contemporary Microeconomics. New York, McGraw-Hill, 1970. Техника поиска условного экстремума в настоящее время повсеместно используется в курсах микроэкономической теории.
3 Работа Самуэльсона (см.: Samuelson P. Foundations of Economic Analysis. Cambridge, Harvard University Press, 1947) прочно утвердила такой подход в экономической теории.
4 Более ранний, но блестящий пример использования этой техники исследования можно найти в кн.: Ramsey F.P.A Mathematical Theory of Saving.- Economic Journal 38 (1928), p. 543-559.
5 Текущая литература обширна. Для экономиста могут представить интерес работы, послужившие исходным пунктом для последующих исследований: Dorfman R. Application of Linear Programming to the Theory of the Firm. Berkeley, University of California Press, 1951; Charnes A..Cooper W.W. and H e n-d e r s о n A. An Introduction to Linear Programming. New York. John Wiley, 1953; Koopmans T.J.(e d.). Activity Analysis of Production and Allocation. New York, John Wiley, 1951. Во вступительной части, написанной Купмансом, дается хорошее обоснование этому аналитическому методу. Во второй половине 50-х годов экономисты получили серьезное исследование: Dorfman R., Samuelson P. and S о 1 о w R. Linear Programming and Economic Analysis. New York, McGraw-Hill, 1958.
6 Ограничимся наиболее важной ссылкой на кн.: К u h n H. W. and Tucker A. W. Nonlinear Programming.- В: N e у m a n J. (e d.). Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Berkeley, University of California Press, 1950.
7 Эта точка зрения на теорию игр не является в настоящее время доминирующей ни в вопросах, касающихся применения теории игр, ни в исследованиях, связанных с развитием ее математического аппарата. "Если двое или более лиц обмениваются товарами, результат для каждого участника в общем случае зависит не только от его поведения, но и от действий других. Таким образом, каждый участник пытается максимизировать функцию... не все переменные которой он может контролировать. Эта задача не рассматривалась в рамках классической математики, именно ее и поставила теория "игровой стратегии".- Neumann J. von and Morgenstern 0. Theory of Games and Economic Behaviour, 2nd ed. Princeton, Princeton University Press, 1947, p. 11-12.
8 На самом деле здесь, по существу, нет вопроса, вызывающего особенно острые споры. Возможно, только экономисты временами испытывают замешательство, сталкиваясь с тем, как быстро первоклассные математики могут решать "неразрешимые" экономические вроблемы. См.: Neumann von and Morgenstern. Theory of Games, Appendix, p. 617-632; Herstein J. N. and Milnor J. An Axiomatic Approach to Measurable Utility.- Econometric 21 (1953), p. 291-297.
9 В связи с этой запутанной проблемой можно рекомендовать накомиться с чрезвычайно сложной систематикой, используемой такими выдающимся исследователем, как Рагнер Фриш. См. Моnoроle-Polypole-La notion deforce dans 1'economie.- Natlonal-Skonomics Tidsskrift, April 1933, переведено в: International Economic Papers vol. 1. New York, Macmillan, 1951, p. 23-36.
10 Эта игра приписывается А. Такеру. Наилучшее описание этой игры с точки зрения психологии приведено в кн.: Rapоport A. and Chammah A. Prisoner's Dilemma. Ann Arbor, University of Michigan Press, 1965. Связь этой задачи с проблемой общественного выбора обоснована в кн.: Вaumо1 W. J. Welfare Economics and The Theory of the State. London, Longmans, Green 1952.
11 В краткой форме это объяснение приведено в кн.: R i k е r W. and Ordeshook P. Introduction to Positive Political Theory. Englewood Cliffs, N. Y., Prentice-Hall, 1973.
12 Изящный прикладной анализ, использующий описанную выше технику, а также обзор теории заключения сделок Нэша можно найти в кн.: M e n i l G. de. Bargaining: Monopoly Power versus Union Power. Cambridge, Massachusetts Institute of Technology Press, 1971.
13 В настоящее время быстро увеличивается число публикаций, посвященных вопросу об использовании подобных методов частичного равновесия. Большинство авторов ссылается на плодотворные идеи Бём-Баверка, высказанные им при анализе отдельного рынка (знаменитого "конного рынка"). Обзор состояния дел в этой области можно найти в кн.: Т e l s e r L. Competition, Collision and Game Theory. Chicago, Aldine, 1972.
14 Проблема учета внешних "воздействий" ("externalities") рассматривается в кн.: Shapley L.S. and S h u b i k M. On the Core of an Economic System with Externalities.- American Economic Review 59 (September 1969), p. 678-684; вопросу о деятельности государственных предприятий посвящена статья: F a u I h а-ber G. R. Cross-Subsidization: Pricing in Public Enterprises,- American Economic Review 65 (December 1975), p. 966-978. "Теорема неосуществимости" Эрроу, используемая в теории благосостояния, в качестве центрального элемента использует понятие ядра. По этому поводу см.: W i 1 s о n R. The Game Theoretic Structure of Arrow's General Possibility Theorem.- Journal of Economic Theory 5 (1972), N 14-20.
15 A r r о w К. and H a h n F. General Competitive Analysis. San Francisco, Holden Day, 1971, особенно гл. 8.
16 Изложение этого вопроса в современной литературе начинается с "реабилитации Эджуорта", предпринятой Мартином Шубиком в кн.: Edgeworth Market Games.- В: Contributions to the Theory of Games, vol. 4, ed. A. W. Tucker and R. D. Luce.- Annals of Mathematics Studies, N 40. Princeton, Princeton University Press, 1959. Литература, посвященная вопросам использования "предельных" теорем в экономической теории, опирается на работу: D e b r e u G. and Scarf H. A Limit Theorem on the Core of an Economy.- International Economic Review 4 (September 1963), p. 235-246. Основы современного подхода, использующего теорию меры, заложены Робертом Ауманом в следующих работах: Aumann R-Markets with a Continuum of Traders.- Econometrics 32 (January 1964), p. 39-50; Aumann R. Existence of Competitive Equilibria in Markets with a Continuum of Traders.- Econometrics 34 (January 1966, p. 1-17. Этот подход был развит Вернером Хилденбрандом в: Hildenbrand W. On Economies with Many Agents.- Journal of Economic Theory 2 (June 1970), p. 161-189, я в его сравнительно новой работе: Hildenbrand W. Core and Equilibria of a Large Economy. Princeton, Princeton University press, 1974. Ссылки, содержащиеся в любой из этих работ, можно рассматривать как рекомендуемый библиографический перечень литературы, посвященной проблеме заключения сделок.
17 По вопросу о связи между макроэкономической и микроэкономической теориями см.: Weintraub E. R. Microfoundations of Macroeconomics: A Critical Survey, mimeographed. Durham, N. C., Duke University, 1976; другая точка зрения отражена в работе: S h u b i k M. The Geheral Equilibrium Model Is Incomplete and Not Adequate For the Reconciliation of Micro and Macroeconomic Theory.- Kyklos 28 (1975), p. 545-573.
18 Убедительное обоснование возможности использовать понятие равновесия по Нэшу в экономических исследованиях предложено Шубиком в The General Equilibrium Model.
19 См.: В r a m s S. Game Theory and Politics. Hew York, The Free Press, 1975; Aumann R. J. and Shapley L.S. Values of Non-Atomic Games. Princeton, Princeton University Press, 1974.
Как найти и купить книги
Возможность изучить дистанционно 9 языков

 Copyright © 2002-2005 Институт "Экономическая школа".
Rambler's Top100